??x?1f(x)??e4,x?0,工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换，若工厂售
4?0,x?0.?出一台设备获毛利100元，调换一台设备厂方需化费300元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.
A:售出设备一年内调换，Y:表示调换费用。则：P(A)?14?04e11?x1?4dx?1?e4,
E(100?Y)??(100?yk)pk=100ek??200(1?e?14)?33.64（元）
6某车间生产的圆盘直径在期间(a,b)上服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望。
?1?,a?x?b,解 直径X～f(x)??b?a记圆盘面积S,则
?其它,?0,x2?b21?1x3b E(S)?E(??)??xdx???44ab?a4b?a3a??12(a2?ab?b2).
7．设X,Y的分布律如下表:
X Y -1 0 1 P{X?xi} 1 0.2 0.1 0.1 0.4 2 0.1 0.0 0.1 0.2 3 0.0 0.3 0.1 0.4 P{Y?yj} 0.3 0.4 0.3 1 （1）求E(X),E(Y)，（2）设Z?Y，求E(Z);（3）设Z?(X?Y)2,求E(Z). X（1）X,Y的边缘分布见上表，故：EX?1?0.4?2?0.2?3?0.4?2,EY??1?0.3?1?0.3?0 （2）EZ?（3）EZ???XiijijYjPij??1?1?1110.2?0.1?0?????0.1?? 123315??(xi?yj)2Pij???5
1,求28X,Y是相互独立同分布的随机变量，且P{X?0}?P{X?1}?max{X,Y}和min{X,Y}的数学期望。
解：记M?max{X,Y},m?min{X,Y}则：
P{M?0}?P{X?0}P{Y?0}?13，P{M?1}?1?P{M?0}? 4413P{m?1}?P{X?1}P{Y?1}?，P{m?0}?1?P{M?1}?
44故E[max{X,Y}]?31,E[min{X,Y}]? 44?12y2,0?y?x?1,9 设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)??求：
其它,?0,E(X),E(Y),E(XY),E(X2?Y2).
x???12y2dy?4x3,x?(0,1) fX(x)??0?其它,?0,?112y2dx?12y2(1?y),y?(0,1)?fY(y)???y
?其它,?0,114E(X)??xfX(x)dx??4x4dx?.
005113E(Y)??yfY(y)dy??12y3(1?y)dy?.
0051x1E(XY)???xy?12y2dydx?.
002112216E(X2?Y2)??x2fX(x)dx??y2fY(y)dy?????
00351510 设系统I由元件A,B并联而成，X,Y分别表示A,B的寿命（以h记）并设A,B相互独
??e??x,x?0,立，且服从同一分布，其概率密度函数为f(x)??求系统I的寿命Z的数学
x?0?0,期望。
?1?e??x,x?0,解：分布函数为F(x)??而Z?Max{X,Y}，由63页
x?0?0,?(1?e??z)2,z?0,?2?(1?e??z)e??z,z?0 FZ(z)???fZ(z)??z?0z?0,?0,?0,E(Z)??2???2??0???2ze??z0ze??zd(??z)???2?????13?.2?2?????zedz?00ze?2?zd(?2?z)??ze?2?z0?????2?zedz 011 一批零件有9件合格品与3件废品，安装机器时，从这批零件中任取一件，若每次取出的废品不再放回，求在取出合格品之前已取出的废品数X的期望与方差。。
解：P{X?0}?939?0.75,P{X?1}???0.2045 1212113293219P{X?2}????0.0409,P{X?3}???0.0045.
1211101211109E(X)?0?0.75?1?0.2045?2?0.0409?3?0.0045?0.301
E(X2)?0?0.75?1?0.2045?4?0.0409?9?0.0045
?0.2045?0.1636?0.0405?0.4086D(X)?E(X2)?E2(X)?0.4086?0.09?0.318
12．随机变量X服从几何分布，其分布律为P{X?k}?p(1?p)k?1,k?1,2,?,其中0?p?1是常数.求E(X),D(X). E(X)?k?1?kqk?1?pk?1????q1??. (q?1?p)=p(q?q2?q3??)=p??1?q?p??1?p?p(kqk)? =p[q(qk)?]??p[q()?]?
1?qk?1k?1 E(X)?2?k?2k?1q??????q?(1?q)2?2(1?q)q1?q???p?2 其中“′”表示对q的形式导数. =p?2?4(1?q)(1?q)p??D(X)?qp2,，
13．设随机变量X服从参数为?的泊松分布，且P{X?1}?P{X?2},求E(X),?2,D(X)?2.
14设X为随机变量，c是常数，若c?E(X),证明:D(X)?E{(X?c)2}.（由于
D(X)?E{[X?E(X)]2},上式表明E{(X?c)2}当c?E(X).时取到最小值。
证明：因为
E{(X?c)2}?D(X)?E(X2.)?2cE(X)?c2?{E(X2)?[E(X)]2} ?c2?2cE(X)?[E(X)]2?[c?E(X)]2?0.
所以：??。
?x2???xe2?2,x?0,15设随机变量X服从瑞利分布，其概率密度为f(x)??2其中??0,是常
???x?0.?0,数.求E(X),D(X).
E(X)?
?2??0??x2?x22?22?2eex2?)dx??x2??0??22??xde2???xe2?0??x2?x2?0???x22e2?dx，
?0???(d(x22?2)?2??4??x2?2??x22?2??0???x22?2E(X2)??0??x32??edx?????22xde2?02?x2??x2e??0edx2??2??22??e2?0x2
?d(?x22?2)??2?e2?2??0?2?2DX?(2??2)?2
16设随机变量X～N(0,4),随机变量Y服从（0，4）上的均匀分布，并且X与Y相互独立，求D(X?Y),D(2X?3Y),E(X?2Y)2.，
(4?0)24解：由已知及75页4 76页 7有D(X)?4,D(Y)??,；又X与Y相互独立，
123再由73页知：
D(X?Y)?D(X)?D(Y)?16. 3D(2X?3Y)?4D(X)?9D(Y)?16?12?28.
E(X?2Y)2?E(X2)?4E(X)E(Y)?4E(Y2)?D(X)?[E(X)]2?4E(X)E(Y)?4{D(Y)?[E(Y)]2} 41?4?0?4?0?2?4(?22)?25.3317 5家商店联营，它们每两周售出的农产品的数量（以㎏记）分别为
X1,X2,X3,X4,X5,已知X1服从N(200,225),X2服从N(240,240),
X3服从N(180,225),X4服从N(260,265),X5服从N(320,270)X1,X2,X3,X4,X5,相互独立，
（1）求5家商店两周的总销售量的均值和方差。
（2）商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店的仓库应至少储存多少千克该产品？
解：（1）记X?i?1?Xi,?E(X)?200?240?180?260?320?1200.
5D(X)?225?240?225?265?270?1225.
（2）X?i?1?Xi,～N(1200,1225)即N(1200,352).
5X?1200T?1200P34(5)T?1200P(X?T)?P(?)??()353535查表T?1200?0.99??(2.33),?2.33
35T?35?2.33?1200?1282(kg)18 设随机变量X服从某一期间上的均匀分布，且E(X)?3,D(X)?（1）求X的概率密度。 （2）求P{X?2}； （3）求P{1?X?3}.
1. 3?b?a?3,??b?a?6,?2?a?4,?a?2,??解：（1）???b?2,or?b?4,故 22??(b?a)?1,?(b?a)?4??3?12?1?,2?x?4,f(x)??2 （2）P{X?2}?0
??0,其它,（3）P{1?X?3}??120dx??3122dx?1. 219 重复掷一均匀硬币n次，记X为正面出现的次数，X与YY为反面出现的次数，求X与Y的相关系数。
Y?n?X,?XY?解
E{[X?E(X)][n?X?E(n?X)]}D(X)D(n?X)
??{E[X?E(X)]}?D(X)???1D(X)D(X)220设两随机变量X与Y的方差分别为25和16，相关系数为0.4，求D(2X?Y),D(X?2Y). 解：由77页：