据题设
m1M?0.34即
?1V1?V?0.34
又
V1V＝0.16得地核平均密度?
0.340.160.340.162
4
2
ρ1＝???5.5?10 kg/m＝1.2×10 kg/m?
3【说明】 在一些天体运行方面的估算题中，常存在一些隐含条件，应加以利用.如在地球表面物体受到地球的引力近似等于重力.地面附近的重力加速度g=9.8 m/s2；地球自转周期T=24 h，公转周期T ′＝265 d，月球绕地球运动的周期约为30 d等.?
【设计意图】 （1）复习重力跟万有引力的关系，并能根据mg=G（2）练习利用常识性数据解答估算题的方法.?
［例2］我国在酒泉卫星发射中心成功发射“神舟”号载人试验飞船.飞船绕地球14圈后，地面控制中心发出返回指令，飞船启动制动发动机、调整姿态后，在内蒙古中部地区平安降落.
(1)假定飞船沿离地面高度为300 km的圆轨道运行，轨道半径为_______；其运行周期为_______min；在该高度处的重力加速度为_______.(已知地球半径为6.4×102 km，地球质量为6.0×1024 kg，万有引力恒量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2）?
(2)飞船脱离原来轨道返回大气层的过程中，其重力势能将________，动能将________，机械能将________.（均填“增大”“减小”或“不变”)? 【解析】 (1)试验飞船在离地300 km的圆轨道上运动时只受地球引力的做用，该力是飞船的向心力，也可认为是飞船在该处所受的重力.所以飞船的轨道半径为：?
r=R地+h=6.4×102 km＋200 km ＝6.7×102 km
由于万有引力等于向心力，所以有： GMmr2MmR2计算地球质量进而求其密度；
?m4?T22r
代入数据得飞船的运行周期T＝90.8 min? 飞船在该高度处的重力加速度为：? g＝
Fm?GMr2?6.67?10?11?6.0?106224(6.7?10) m/s2≈8.9 m/s2?
（2）飞船启动制动发动机之后，其运行的轨道半径将逐渐变小.由于其轨道的变化比较慢，所以降落过程中的任一时刻，仍认为飞船满足匀速圆周运动的条件，其线速度v＝GM/r∝1/r.所以飞船返回大气层的过程中，其重力势能减小，动能将增大.由于克服大气阻力(或制动力)做功，所以它的机械能将减小.?
【思考】 (1)宇宙飞船制动的过程与汽车刹车过程相比最大的区别是什么?(只分析速度的变化情况)? (2)在同一轨道上有甲乙两艘宇宙飞船，若甲想追上前方的乙，该如何操做发动机??
(3)若飞船做圆周运动的过程中外壳上有一隔热瓷片突然脱落，它将如何运动??
【思考提示】 （1）汽车刹车过程速度逐渐减小，宇宙飞船制动过程速度逐渐增大.（2）甲应制动，使其进入半径较小的轨道，从而使它的速度大于乙，从而使甲追上乙.（3）跟飞船一起做圆周运动.?
【设计意图】 （1）总结根据“万有引力提供向心力”列方程求解天体运动问题的方法；（2）提高应用有关物理知识分析解决实际问题的能力. ［例3］“黑洞”是爱因斯坦的广义相对论中预言的一种特殊天体，它的密度极大，对周围的物质(包括光子)有极强的吸引力.根据爱因斯坦理论，光子是有质量的，光子到达黑洞表面时也将被吸入.最多恰能绕黑洞表面做圆周运动，根据天文观测，银河系中心可能有一个黑洞，距该可能黑洞6.0×1012 m远的星体正以2.0×10 m/s的速度绕它旋转，据此估算该可能黑洞的最大半径是多少?(保留一位有效数字)?
【解析】 黑洞做为一种特殊天体一直受到广泛的关注，种种迹象表明它确实存在于人的视野之外.由于黑洞的特殊性，所以当分析本题的时候，一定要抓住其“黑” 的原因，即光子也逃不出它的引力约束.光子绕黑洞做圆周运动时，它的轨道半径就是黑洞的最大可能半径.?
根据爱因斯坦理论、光子有质量，所以黑洞对光子的引力就等于它圆周运动时的向心力，则 G
Mm?R26
?m?c2r ①?
其中M为黑洞质量，m为光子质量，c为光速，r为轨道半径，即黑洞的最大可能半径.
银河系中的星体绕黑洞旋转时，也可认为做的是匀速圆周运动，其向心力为二者之间的万有引力，所以有：?
GMm?R2?m?v2R ②?
其中m′为星体质量，R为星体的轨道半径.? 由①②式可得黑洞的可能最大半径为：? r＝
vc22R?(2?103?1068)?6?10212 m≈2×108 m?
【说明】 有关黑洞的内容课本上是以“阅读材料”的形式给出的，对于这些内容大家千万不可掉以轻心，一定要认真去阅读，因为近年的高考试题中有不少题目都是以课本中的阅读材料为背景命题的.?
【设计意图】 通过本例培养学生应用中学物理知识分析解决科学技术中的问题的能力. ［例4］在研究宇宙发展演变的理论中，有一种学说叫做“宇宙膨胀说”，这种学说认为万有引力常量G在缓慢地减小，根据这一理论，在很久很久以前，太阳系中地球的公转情况与现在相比?
A.公转半径R较大 ? B.公转周期T较大?
C.公转速率v较大? D.公转角速度ω较小?
【解析】 这是一道信息题，所提供的信息是“宇宙膨胀说”中的一个观点“万有引力常量G在缓慢地减小”，要求根据这一理论去推测太阳系中地球运动的演变规律.?
在漫长的演变过程中，由于万有引力常量G在缓慢地减小，地球所受的万有引力在变化，故地球公转的半径R、速率v、周期T、角速度ω等在变化，即地球做的不是匀速圆周运动.但由于G减小得非常[ZZ2]缓慢，在并不太长时间内，可以认为地球公转的R、v、T、ω等均保持不变，是匀速圆周运动，仍遵循天体运动的基本规律——所受万有引力等于做圆周运动的向心力，这仍是处理物理问题的一种基本方法——理想化方法，据此有?
G
mMR2?
?mv2R,
所以，其公转速率的表达式为v=
GMR,?
公转周期的表达式为T=2π
R3GM，?
公转角速度的表达式为ω=
GMR3.
对于漫长的演变过程而言，由于万有引力常量G在缓慢地减小，地球所受的万有引力将逐渐减小，即有?
G
mMR2＜m
v2R,?
地球将做离心运动，即公转半径R将增大，据此，可得公转速率v 变小，公转周期T增大，而公转角速度ω则变小.故正确选项为C.?
【设计意图】 通过本例题培养学生分析解答信息题的能力.
●反馈练习? ★夯实基础?
1.可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆 轨道? ①与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面同心圆? ②与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆?
③与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的? ④与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的?
上述说法正确的是?
A.①② B.③④? C.②③④ D.②③?
【解析】 由于地球对卫星的引力提供卫星绕地球做圆周运动的向心力，故卫星做圆周运动的圆心为地心，又由于地球在自转，所以卫星的圆轨道不能与某一经度线所决定的圆是共面同心圆.?
【答案】 B
2.下列关于地球同步通信卫星的说法中，正确的是?
A.为避免通信卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上?
B.通信卫星定点在地球上空某处，各个通信卫星的角速度相同，但线速度大小可以不同 C.不同国家发射通信卫星的地点不同，这些卫星轨道不一定在同一平面内? D.通信卫星只能运行在赤道上空某一恒定高度上?
【解析】 地球同步卫星的T、ω、v、a向都一定，并且都在同一轨道、赤道平面、同一高度上.? 【答案】 D?
3.如图4—3—1所示，在同一轨道平面上，绕地球做圆周运动的卫星A、B和C，某时刻恰好在同一直线上，当卫星B运转一周时，下列说法正确的有?
图4—3—1
A.因为各卫星的角速度ωA=ωB=ωC，所以各卫星仍在原位置上?
B.因为各卫星运转周期TA＜TB＜TC，所以卫星A超前于卫星B，卫星C滞后于卫星B
C.因为各卫星运转频率fA＞fB＞fC,所以卫星A滞后于卫星B，卫星C超前于卫星B D.因为各卫星的线速度vA＜vB＜vC，所以卫星A超前于卫星B，卫星C滞后于卫星B 【解析】 由ω=
GMr3知，ωA＞ωB＞ωC.由T=2π
r3GM知，TA＜TB＜TC，fA＞fB＞fC，A超前于B，
C滞后于B.由v
【答案】 B
GMr知,vA＞vB＞vC,故正确选项为B.
4.如图4—3—2所示，a、b、c是地球大气层外圆形轨道上运行的三颗人造卫星，a、b质量相同，且小于c的质量，下列判断正确的是
图4—3—2
A. b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度? B.b、c的周期相等，且小于a的周期?
C.b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度? D.b所需的向心力最小? 【解析】 由F=G
r3Mmr2知Fa＞Fb,Fc＞Fb,即Fb最小，D选项正确.由a=
GMrMmr2知aa＞ab=ac,C选项错，由
T=2π
Gm知，Ta＜Tb=Tc,B选项错.由v=知，va＞vb=vc,A选项错.
【答案】 D
5.下列各组物理数据中，能够估算出月球质量的是? ①月球绕地球运行的周期及月、地中心间的距离? ②绕月球表面运行的飞船的周期及月球的半径? ③绕月球表面运行的飞船的周期及线速度? ④月球表面的重力加速度 以上结论正确的是? A.①② C.②③
B.③④ D.①④?
【解析】 求月球质量，应利用围绕月球的卫星或飞船来求.? GMmR2?mR2?T4?T22得M＝
4?RGT223
再由v＝
vT2?G3R 得R＝
vT2?，代入上式?
M＝
【答案】 C
6.土星外层上有一个环.为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系来判断：?
①若v∝R，则该层是土星的一部分? ②若v2∝R，则该层是土星的卫星群?
③若v∝
2
1R1R，则该层是土星的一部分? ，则该层是土星的卫星群?
④若v∝
以上判断正确的是? A.①② C.②③
B.③④ D.①④?
【解析】 若为土星的一部分，环上各部分ω相同，则v＝ω2，即v∝2.? 若为土星卫星群，则由公式G【答案】 D
7.人造地球卫星运行时，其轨道半径为月球轨道平均半径的A.1 d～4 d之间 C.8 d～16 d之间 【解析】 由G
3MmR2?mv2R得：v2∝
1R.?
13，则此卫星运行的周期大约是?
B.4 d～8 d之间? D.大于16 d?
r3Mmr2?mr4?T22，得T＝2π
GM则卫星与月球的周期之比为?
T星/T月＝r星/r月?31/27?1/33
则卫星的周期T星＝T月/33≈5.77 d?
【答案】 B
8.某天体的半径为地球半径的2倍，质量为地球质量的1/8倍，则该天体的第一宇宙速度的大小为______.?
【解析】 由G
Mmr2?mv2r，得v＝1GMr
对天体：v天＝
GMr天G天?82r地G地?14GMr地地?14v地?14×7.9 km/s≈1.98 km/s.
【答案】 1.98 km/s
9.我国自行研制发射的“风云一号”“风云二号”气象卫星的飞行轨道是不同的.“风云一号”是极地圆形轨道卫星，其轨道平面与赤道平面垂直，周期为T1＝12 h；“风云二号”是同步轨道卫星，其轨道平面就是赤道平面，周期为T2＝24 h.两颗卫星相比：______离地面较高；______运行速度大.若某天上午8点“风云一号”正好通过赤道附近太平洋上一个小岛的上空，那么“风云一号” 下一次通过该小岛上空将是______.?