们看来，要求周长，必须先知道半径，而要测量水池的半径一时又有困难.但一个普通工人却非常容易的解决了这个问题，因为只要有足够长的绳子，就可以沿水池一周把它测量出来.
问题是：为什么面对现实世界中的周长问题，我们想到的是周长的计算公式，而不是周长的本来意义？我们学周长公式的意义何在，为什么学周长公式的结果与我们解决问题的初衷背道而驰？难道计算周长不是现实的需要，现实中的周长不可以直接测量吗？显然，出现这种现象与单纯的接受式学习是分不开的.试想一下，如果我们的教学从问题出发，从确立求周长的目标意识出发，给学生以思考的机会、探索的机会、实践的机会，让学生经历由测量到探求周长与半径关系的过程，学生还会对这样的现实问题束手无策吗？当然这只是极特殊的个例，但愿学生不会发生.
教学的实践表明，只要我们在教学中注意引导学生独立思考、自主探索、动手实践、合作交流，学生就会焕发出无穷的智慧和创造力.请看下面一个案例：
例3 求一块不规则图形的面积（九年级研究课）.
这与数学中的常规问题是不同的，我们在数学中面对的一般都是规则图形，可以直接用公式计算，或通过适当割补后再用公式计算.如何解决这一问题？我们把它交给学生，竟然得到了如下一些成果：
方法1 将图形放在坐标纸上，也即将图形分割，看它有多少个“单位面积”.
方法2 将图形从内外两个方面用规则图形（或规则图形的组合）
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逼近.
方法3 将这块图形用一个正方形围住，然后随机地向正方形内扔“点”（如小石子等小颗粒），当点数P足够大时，统计落入不规则图形中的点数A，则图形的面积与正方形面积的比约为.
方法4 “称量”面积：在正方形区域内均匀铺满一层细沙，分别称得重量是P（正方形区域内细沙重）、A（所求图形内细沙重），则所求图形的面积与正方形面积的比是.
我们注意到，这里的每一种方法都有极其深刻的背景：方法1涉及到一个重要思想――面积公理；方法2体现了朴素的极限思想；方法3属于概率统计方法，数学史上被称为“蒙特卡罗方法”；方法4类似于阿基米德称皇冠的方法.看来老师要做的，就是欣赏学生的智慧，把学生的想法提升到一个新的境界.
这样的教学，强调的基础是：学生的认知发展水平和已有的知识经验；坚持的方式是，给学生提供机会：独立思考的机会，自主探索机会和合作交流的机会；期待的目标是，让学生在真正理解和掌握知识的同时，获得数学活动经验.
数学教学的一个重要原则是鼓励富有个性的学习，倡导主动、探究、合作.合作探究与原有的分组学习是不同的。原有的分组学习往往把学习水平和兴趣基本相同的同学分在一起.合作探究则不然，一般要求“组间同质，组内异质”.也就是组与组之间的差异尽可能小，便于在同等水平上竞争。而组内，则容许有不同的水平，不同的兴趣，不同的性格特点，不同的学习方式并存，从而优势互补，形成完整的
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APAP
人格.例3的4种方法，既有确定性思维，也有统计性思维，既有逻辑推演，也有实践操作.如果不在“组内异质”的条件下，尊重每一位学生的个性，是很难充分发挥它的教育价值的. 止于评论缺乏行为跟进（坐而论道而未起而行动，行为跟进是学生实践推理、养成智慧的过程）。
4.教学的内容：不只是教教材，而是要用教材来教，要进行创造性的教学.
认真钻研课标和教材是我们每一位老师的基本功，教学效果的好坏很大程度上取决于教师挖掘教材的能力.现在新课程教材版本多种多样，内容呈现形式百花齐放，个别内容的编写还有不足之处，第一版甚至出现问题或错误也不少，这就更需要我们广大教师要善于抓住教材的核心内容进行教学设计，要突出教学内容的基础性、发展性、实践性和主体性，教案编写的内容要来源于教材，又要高于教材，创造性的使用教材，用教材来教，而不是教教材，坚决反对照本宣科的做法.
比如华东师大版九上教材中的“负整指数幂”是这样安排的. 首先让学生探索，考察下列算式：52?55,103?107. 一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得
52?55?52?5?5?3,103?107?103?7?10?4.
另一方面，我们可利用约分，直接算出这两个式子的结果为
525211031031375?5?5?23?3，10?10?7?3?.
55?551010?10410425 23
然后进行概括，由此启发，我们规定：5?3?一般地，我们规定a?n?11?4,10?. 531041(a?0,n是正整数）. na如果我们就这样给学生讲解，左边相同，右边应该是相等的！难道你不觉得失去了什么吗？例如，教师可以问学生：使用第一种方法解决的根据是什么？还可以问：你这里的5?3,10?4表示什么意思？这些问题看似简单，实则可以帮助学生进行反思，使思维更加深入，而且可以使学生感受到引进负整数指数幂的必要，也可以让学生明白我们这样规定的“理由”.因此，让学生养成推理要有根据的习惯，建立和发展推理意识、反思意识应该是数学教师的职责，我们必须牢记：反思比发现更重要.
又如北师大版八上教材中关于勾股定理的逆定理是这样安排的. 教材的标题是“能得到直角三角形吗？”教材通过历史上的故事提出了问题：古埃及人曾用下面的方法得到直角.他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处.
按这种做法真能得到一个直角三角形吗？
教材就这样提出了问题，下面我们来看教材是怎样解决问题的？ 教材让学生动手，安排了“做一做”： 下面一组数分别是一个三角形的三边长a,b,c： 5,12,13； 7,24,25； 8,15,17. （1）这三组数都满足a2?b2?c2吗？
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（2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量量，它们都是直角三角形吗？
通过这样的操作，教材得到了勾股定理的逆定理.（略） 看了上面的教材，不知道你会有什么样的感觉？就我而言，我是感到了不少的困惑！
我真不知道，在学习这段教材时，学生除了要根据给定的指令进行机械的操作之外，还可以做些什么？问题是由教材提出的！解决问题的方案也是教材给出的！对学生而言，他们在进行操作时甚至连操作的目的都不知道！他们根本不明白在讨论直角的问题时，为什么要让他们去回答“这三组数都满足a2?b2?c2吗？”这样的问题！（这是不是编者留给学生去反思的呢？如果是这样，教材至少也要指出思考的方向吧？）因此，从本质上来说，学生的学习是机械的，而不是有意义的！在这样的学习活动中，学生又有什么主体地位可言？教材又在什么地方给学生提供了思维的空间？从实质上说，在这样的教学中学生并不是学习的主人，相反，他们只是教材编写者的工具，是机械地执行指令的机器！这当然是和教材的编写意图背道而驰的！
特别使我感到困惑的是，教材在给出了定理以后，还用旁注的形式问学生“现在你知道古埃及人这样做的道理了吧？”说老实话，如果叫我回答这样的问题，我就只能说：我不知道古埃及人这样做的道理！因为，教材中所做的一切无非是把古埃及人所做的事情又重复了几次而已，难道同样的事情反复出现几次就是合理的吗？就可以知道它存在的“道理”么？
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