2?＝(α＋β)＋(α－β)；α＝
???2＋
??? 2α＝(α＋β)－β ＝(α－β)＋β
???2(＝(α－
?4??)－(－β)； 22?4?x)?(?x)＝
? 2 典型例题 例1．求［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］·2sin280?的值. 解：原式=?2sin50??sin10???1????????3sin10?????2sin80?
cos10?????=(2sin50??sin10??cos10??3sin10?)?2sin80?
cos10???13cos10??sin10???2??2cos10? =?2sin50??2sin10??2cos10???????=??2sin50???2sin10?sin40????2cos10?
cos10??=
2sin60??2cos10??22sin60? cos10?=22?3?6. 2?3?,?)，sin?=,则tan(??)等于（ ）
52411A. B.7 C.－ D.－7 77变式训练1：(1)已知?∈(
(2) sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 （ ） A.－
3311 B. C.－ D.
2222解：(1)A (2)B 例2. 已知α?(解：∵α－α∈(
?3?4,4?3??353??，)，β?(0，),cos(α－)＝，sin(＋β)＝，求sin(α＋β)的值． 444513443?4?4＋＋β＝α＋β＋
13?2
) β∈(0,?1??sinx?1)
∴α－
??3?3?∈(0,) β＋∈(,π)
4424
∴sin(α－
3??124)＝ cos(??)＝－
54413?2∴sin(α＋β)＝－cos[＝－cos*(α－
＋(α＋β)+
3??56)＋(??)]＝
6544变式训练2：设cos（?－
?2）=－
1?2ππ，sin（－β）=，且＜?＜π，0＜β＜， 93222求cos（?+β）.
?ππππ?π解：∵＜?＜π，0＜β＜，∴＜α－＜π，－＜－β＜.
2242422故由cos（?－由sin（
?2）=－
45?1，得sin（α－）=.
992?2－β）=
5????2??，得cos（－β）=.∴cos=cos［（?－）－（－β）］
332222=cos(???2)cos(?2??)?sin(???2)sin(?15245??)=?? ??293392?75?752392???∴cos（?+β）=2cos－1=2??-1=－. ???27?729227??例3. 若sinA=
510,sinB=,且A,B均为钝角,求A+B的值. 510510,sinB=， 510解 ∵A、B均为钝角且sinA=∴cosA=-1?sinA=-225=-
25， 5cosB=-1?sinB=-2310=-
310， 10∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
?=??????25??×??310?-5×10=2 ① ??5?210??10?5又∵
??＜A＜?, ＜B＜?, 22∴?＜A+B＜2?
7?由①②知，A+B=.
4②
变式训练3：在△ABC中，角A、B 、C满足4sin2解 在△ABC中，A+B+C=180°, 由4sin2
7A?C-cos2B=, 227A?C-cos2B=,求角B的度数. 22
得4·1?cos(A?C)7-2cos2B+1=, 22所以4cos2B-4cosB+1=0. 于是cosB=,B=60°.
例4．化简sin2?·sin2?+cos2?cos2?-1cos2?·cos2?. 212解 方法一 （复角→单角，从“角”入手）
1原式=sin2?·sin2?+cos2?·cos2?-·(2cos2?-1)·(2cos2?-1)
2=sin2?·sin2?+cos2?·cos2?-1(4cos2?·cos2?-2cos2?-2cos2?+1) 21 2=sin2?·sin2?-cos2?·cos2?+cos2?+cos2?-=sin2?·sin2?+cos2?·sin2?+cos2?-=sin2?+cos2?-111=1-=. 2221 2方法二 （从“名”入手，异名化同名）
1原式=sin2?·sin2?+(1-sin2?)·cos2?-cos2?·cos2?
2=cos2?-sin2? (cos2?-sin2?)-=cos2?-sin2?·cos2?-??1cos2?·cos2? 21cos2?·cos2? 212??=cos2?-cos2?·?sin2??cos2??
1?2?2·sin??(1?2sin?)?? 2??1?cos2?11=-cos2?=.
222=
1?cos2?-cos2?2方法三 （从“幂”入手，利用降幂公式先降次）
1?cos2?1?cos2?1?cos2?1?cos2?1原式=·+·-cos2?·cos2?
22222=(1+cos2?·cos2?-cos2?-cos2?)+1. 21411(1+cos2?·cos2?+cos2?+cos2?)-·cos2?·cos2?=42方法四 （从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方） 原式=(sin?·sin?-cos?·cos?)2+2sin?·sin?·cos?·cos?-=cos2(?+?)+
11sin2?·sin2?-cos2?·cos2? 221cos2?·cos2? 2
=cos2(?+?)-=cos2(?+?)-
1·cos(2?+2?) 211·［2cos2(?+?)-1］=. 22???4??4????变式训练4：化简：（1）2sin???x?+6cos??x?; 2cos2??1(2）.
???2???2tan????sin?????4??4??解 （1）原式=22?sin???2??13??????x???cos??x?? ?4?2?4????????=22?sinsin??x??coscos??x??
66?4??4?????????=22cos????x?=22cos(x-?64????). 12（2）原式=
cos2?1?tan?1?tan???????1?cos??2????2???=
cos2?cos2?(1?sin2?)1?sin2?=1.
小结归纳 1．三角函数式的化简、求值、证明等是三角变形常见的题型，三角函数式变形的过程就是分析矛盾、发现差异，进而消除差异的过程。在这一过程中须仔细观察到式子中各项的角、函数名称及运算式子的差异，找出特征，从中找到解题的突破口。对于角与角之间的关系，要充分应用角的恒等变换，以整体角来处理和解决有关问题，这样可以避免一些较复杂的计算，如：2α＋β=α+ (α＋β)等．
2．在应用过程中要能灵活运用公式，并注意总结公式的应用经验。对一些公式不仅会正用，还要会逆用、变形用，如正切的和角公式的变形用，正、余弦的和、差角公式的逆用。另外还要能对形如sinx±3cosx、sinx±cosx的三角函数式要创造条件使用公式．
第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切
基础过关
1．基本公式：
sin2α＝ ；
cos2α＝ ＝ ＝ ； tan2α＝ . 2．公式的变用：
1＋cos2α＝ ； 1－cos2α＝ ． 例1. 求值：典型例题 sin40?(1?2cos40?)2cos240??cos40??1
解：原式＝ ＝
sin40??sin80?
cos40??cos80?sin(60??20?)?sin(60??20?)＝
cos(60??20?)?cos(60??20?)?12?sin3
?)＝ （ ） 12变式训练1：(cosA．－解：D
?12)(cos
?12＋sin
1133 B．－ C． D．
2222例2． 已知α为锐角，且tan??解：∵α为锐角 ∴＝
sin2?cos??sin?sin2?cos2?1sin2?cos??sin?，求的值. 2sin2?cos2?＝
sin?(2cos2??1)2sin?cos?cos2?
15＝1?tan2?＝ cos?4变式训练2：化简：
2tan(2cos2??1?4??)?sin(2?4??)
解：原式＝
2sin(cos(cos2??4＝1
?4??)??)??)??cos2(4例3．已知f(x)??3sin2x?sinxcosx； (1) 求f(25??13)的值； (2) 设??(0,?),f()??，求sinα的值． 6242解：（1）∵sin∴f(251?62cos25?3 ?6225?25?25?25?)??3cos2?sincos?0 6666（2）f(x)?∴f()?a2331cos2x??sin2x 22231313 cos??sin????22242