系，其常用的方法有：
⑴ 代入法：就是将结论变形后将条件代入，从而转化为恒等式的证明． ⑵ 综合法：从条件出发逐步变形推出结论的方法．
⑶ 消去法：当已知条件中含有某些参数，而结论中不含这些参数，通过消去条件中这些参数达到证明等式的方法．
⑷ 分析法：从结论出发，逐步追溯到条件的证明方法，常在难于找到证题途径时用之． 典型例题
例1．求证：
1?cos??cossin??sin2cos2?2＝
?2sin?
1?cos?cos?2?cos?2??证明：左边＝
2sincos?2cos?2?sin?2?sin(1?2cos)22(1?2cos)2??
2?＝
2?cot??sin??21?cos?sin2＝右边
??)＋tan(α－)＝2tan2α 44变式训练1：求证：tan(α＋证明：∵(α＋∴tan*(α＋
??4?4)＋(α－
?4?4)＝2α
)＋(α－)]＝tan2α
??)?tan(??)∴tan(441?tan(????4)?tan(????tan2?)4??)?tan(??)∴tan(44?tan2?
??1?tan(??)?cot(??)44??∴tan(α＋
?4)＋tan(α－
?4)＝2tan2α
tan5??tan3??4(tan5??tan3?) 例2．求证：
cos2?cos4?sin5?sin3??cos5?cos3?证明：左边＝
cos2??cos4?sin8?4sin2??cos2??cos4?＝cos5??cos3??cos2??cos4?? cos5??cos3??cos2??cos4?sin8?4sin2??cos2??cos4??＝
?cos3??cos2??cos4?cos5??cos3??cos2??cos4?
4sin2?＝ cos5??cos3?右边＝4(
sin5?sin3??) cos5?cos3?sin5??cos3??cos5??sin3?4sin2?＝4·＝ cos5??cos3?cos5??cos3?∴左边＝右边 即等式成立
sin2B变式训练2：已知2tanA＝3tanB，求证：tan(A－B)＝．
5?cos2B3tanB?tanBtanA?tanB2?证明：tan(A－B)＝
321?tanA?tanB1?tanB2sinBtanBsinBcosBcosB??＝2?3tan2B3sin2B2cos2B?3sin2B
2?cos2B＝
2sinB?cosB4cos2B?6sin2B?sin2B4?2sin2B?sin2B
5?cos2B例3．如图所示，D是直线三角形△ABC斜边上BC上一点，AB＝AD，记∠CAD=α，∠ABC=β． （1）证明：sinα＋cos2β=0； （2）若AC?3DC，求β的值． 解：（1）∵???2??BAD?A ?2?(2??2?)?2???2
B D
C
∴sin??sin(2???2)??cos2?
即sinα＋cos2β＝0
（2）在△ADC中，由正弦定理得即
DCAC?． sin?sin(???)DC3DC? ∴sin??3sin? sin?sin?由（1）sinα＝－cos2β
∴sin???3cos2???3(1?2sin2?) 即23sin2??sin??3?0 解得sin??因为0???33或sin??? 22?2，所以sin??33从而?? 22
变式训练3.已知?,??(0,)且sinβ·cosα＝cos(α＋β)．
2?（1）求证：tan??sin2cos?；
1?sin2?（2）用tanβ表示tanα．
解：（1）∵sin??cos??cos(???) ∴
sin??cos?cos??sin?sin? sin?∴sin??sin?cos?cos??sin2?sin?
sin?cos?1?sin2?∴tan?? sin?cos??tan?1?2tan2?（2）tan??sin2??cos2??sin2?2
CA32
例4.在△ABC中，若sinA·cos2＋sinC·cos2＝2sinB，求证：sinA＋sinC＝2 sinB．
证明：∵sinA·cos2∴sinA·1?cosC2C2＋sinC·cos2
1?cosA2A2＝sinB
32＋sinC·＝sinB
32∴sinA＋sinC＋sinA·cosC＋cosＡ·sinC＝3sinB ∴sinA＋sinC＋sin(A＋C)＝3sinB ∵sin(A＋C)＝sinB ∴sinA＋sinC＝2sinB
变式训练4：已知sinθ＋cosθ＝2sinα，sinθ·cosθ＝sin2β，求证：2cos2α＝cos2β． 证明：(sinθ＋cosθ)2 ＝1＋2sinθ·cosθ＝4sin2α
将sinθ·cosθ＝sin2β代入得1＋2sin2β＝4sin2α ∴1＋1－cos2β＝2(1－cos2α) ∴2cos2α＝cos2β 小结归纳
1．证明三角恒等式的基本思路，是根据等式两端的特征通过三角恒等变换，应用化繁为简，左右归一，变更命题等方法使等式两端的“异”化为“同”．
2．条件等式的证明，注意认真观察，发现已知条件和求证等式之间的关系，选择适当的途径运用条件，从已知条件出发，以求证式为目标进行代数或三角恒等变形，逐步推出求证式． 3．对于高次幂，往往采用三角公式降次，再依求证式的要求论证．
第7课时 三角函数的图象与性质
基础过关
1．用“五点法”作正弦、余弦函数的图象．
“五点法”作图实质上是选取函数的一个 ，将其四等分，分别找到图象的 点， 点及“平衡点”．由这五个点大致确定函数的位置与形状． 2．y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象． 函数
y＝sinx 图象
注：⑴ 正弦函数的对称中心为 ，对称轴为 ． ⑵ 余弦函数的对称中心为 ，对称轴为 ． ⑶ 正切函数的对称中心为 ． 3．“五点法”作y＝Asin(ωx＋?)(ω>0)的图象．
令x'＝ωx＋?转化为y＝sinx'，作图象用五点法，通过列表、描点后作图象． ４．函数y＝Asin(ωx＋?)的图象与函数y＝sinx的图象关系．
振幅变换：y＝Asinx(A>0，A≠1)的图象，可以看做是y＝sinx的图象上所有点的纵坐标都 ，(A>1)或 (00，ω≠1)的图象，可以看做是把y＝sinx的图象上各点的横坐标 (ω>1)或 (0<ω<1)到原来的 倍(纵坐标不变)而得到的．由于y＝sinx周期为2π，故y＝sinωx(ω>0)的周期为 ．
相位变换：y＝sin(x＋?)(?≠0)的图象，可以看做是把y＝sinx的图象上各点向 (?>0)或向 (?<0)平移 个单位而得到的．
由y＝sinx的图象得到y＝Asin(ωx＋?)的图象主要有下列两种方法：
或 y＝sinx
周期 变换 y＝cosx y＝tanx
y＝sinx 相位 变换 周期 变换 振幅 变换 相位 变换 振幅 变换
说明：前一种方法第一步相位变换是向左(?>0)或向右(?<0)平移 个单位．后一种方法第二步相位变换是向左(?>0)或向右(?<0)平移 个单位． 例1.已知函数y＝Asin(ωx＋?)(A>0，ω>0) ⑴ 若A＝3，ω＝，?＝－
12?，作出函数在一个周期内的简图． 32??，当x＝时，相位是，求ω和?． ?243⑵ 若y表示一个振动量，其振动频率是解：(1) y＝3sin(
x??23x??23)列表(略)图象如下：
π 8?3y 3 2 1 -1 0 2?5?8?11?14?x -2 33 3 3 3 -3 0 2?3?2 3?2 2π 14?3x y 5?3 11?3 0 3 0 －3 0 (2)依题意有：
?2????4f????2?? ∴??? ????????????6??3?24变式训练1：已知函数y=2sin(2x?),
3?(1)求它的振幅、周期、初相；
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；
(3)说明y=2sin(2x?)的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.
3?解 （1）y=2sin(2x?)的振幅A=2,周期T=
3?2??=?，初相?=. 23（2）令X=2x+
??,则y=2sin(2x?)=2sinX. 33列表，并描点画出图象： x X y=sinX y=2sin(2x+
-? 6? 12? 2? 37? 123? 25? 60 0 ?) 0 3? 2? 0 0 1 2 0 0 -1 -2