∴3sin
??1t＋10≥11.5 sint≥ 662??5?≤t≤2k?＋ 666解得2k?＋
即12k＋1≤t≤12k＋5 k∈z 在同一天内，取k＝0或1． ∴1≤t≤5 或 13≤t≤17
∴该船最早能在凌晨1时进港，最迟下午17时出港，在港内最多能停留16小时． 小结归纳
1．求三角函数的定义域既要注意一般函数求定义域的规律，又要注意三角函数本身的特有属性，如常常丢掉使tanx有意义的x≠nπ＋
?(n∈Z)． 22．求函数值域的问题一方面要熟悉求值域的一般方法和依据，另一方面要注意三角函数的有界性．
3．求周期一般先将函数式化为y＝Af(ωx＋?)(f为三角函数)，再用周期公式求解．
4．函数y＝Asin(ωx＋?)(A>0，ω>0)的单调区间的确定的基本思想是把(ωx＋?)看作一个整体，再利用正弦函数的单调区间解出x即为所求．若ω<0，可用诱导公式变为y＝－Asin(－ωx－?)再仿照以上方法解之.
第9课时 三角函数的最值
基础过关 1．一元二次函数与一元二次方程
一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标． 2．函数与方程
两个函数y?f(x)与y?g(x)图象交点的横坐标就是方程f(x)?g(x)的解；反之，要求方程f(x)?g(x)的解，也只要求函数y?f(x)与y?g(x)图象交点的横坐标． 3．二分法求方程的近似解
二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间(m,n)，则必有f(m)?f(n)?0，再取区间的中点p?m?n，再判断f(p)?f(m)的正负号，若f(p)?f(m)?0，则根在区2间(m,p)中；若f(p)?f(m)?0，则根在(p,n)中；若f(p)?0，则p即为方程的根．按照
以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值．
例1. 求下列函数的最值． ⑴ y＝
sin2x?sinx；
1?cosx典型例题 ⑵ y＝2 cos(⑶ y??＋x)＋2cosx； 31?sinx．
3?cosx2sinx?cosx?sinx?2cos2x?2cosx1?cosx解：(1) y＝＝2(cosx?
121)?2212
12∴ 当cosx＝?时，ymin=? ∵ cosx≠1
∴ 函数y没有最大值。 (2) y＝2cos(
??3?x)+2cosx
=2coscosx?2sinsinx?2cosx
33?=3cosx－=2
33sinx
?6cos(x?)
)＝－1时，ymin＝－23∴当cos(x?当cos(x?(3) 由y??6?6
)＝1时，ymax＝23
1?sinx得sinx－ycosx＝3y－1
3?cosx∴y2?1sin(x??)＝3y－1 (tan?＝－y) ∵|sin(x＋?)|≤1 ∴|3y－1|≤y2?1 解得0≤y≤ 故y?341?sinx3的值域为[0，]
3?cosx4注：此题也可用其几何意义在求值域．
变式训练1：求下列函数的值域： （1）y=
sin2xsinx;
1?cosx（2）y=sinx+cosx+sinxcosx; （3）y=2cos(?x)+2cosx.
3?解 （1）y=
2sinxcosxsinx2cosx(1?cos2x)=
1?cosx1?cosx122=2cos2x+2cosx=2(cosx?)-.
于是当且仅当cosx=1时取得ymax=4,但cosx≠1, ∴y＜4，且ymin=-,当且仅当cosx=-时取得.
?故函数值域为???,4?.
?1?2121212（2）令t=sinx+cosx,则有t2=1+2sinxcosx,
t2?1即sinxcosx=.
2t2?11有y=f(t)=t+=(t?1)2?1.
22又t=sinx+cosx=2sin(x?)，
4?∴-2≤t≤2. 故y=f(t)=
1(t?1)2?1(-2≤t≤2), 2从而知：f(-1)≤y≤f(2),即-1≤y≤2+. 即函数的值域为??1,2??.
2???1?12（3）y=2cos(?x)+2cosx
3?=2cos
??cosx-2sinsinx+2cosx 33=3cosx-3sinx
cosx?sinx? =23??2?2???31?=23cos(x?).
6?∵cos(x?)≤1
6?
∴该函数值域为［-23，23］.
例2. 试求函数y＝sinx＋cosx＋2sinxcosx＋2的最大值与最小值，又若x?[0,]呢？
2?解： 令t＝sinx＋cosx 则t∈[－2，2] 又2sinx＋cosx＝(sinx＋cosx)2－1＝t2－1 ∴y＝t2＋t＋1＝(t＋)2＋，显然ymax＝3＋2 若x∈[0，
121234?] 则t∈[1，2] 234y＝(t＋)＋在[1，2]单调递增． 当t＝1即x＝0或x＝当t＝2即x＝
?时，y取最小值3． 2?时，y取最大值3＋2． 4变式训练2：求函数f(x)?x?cosx(sinx?cosx)小值．
??3??x???,?的最大值和最
?44?点拔：三角函数求最值一般利用三角变形求解，此题用常规方法非常困难，而用导数求最值既方便又简单．
解：f(x)＝x－(sin2x＋cos2x)－ ∴f′(x)＝1＋2sin(2x－∵x∈[－
?) 41212?3??3?5，] ∴2x－∈[－，?] 44444?2)＝－ 42令f′(x)＝0 得sin(2x－∴x＝0，－
?3，? 44∵f(0)＝－1，而f(－
34??33?)＝－ f(?)＝ 44443? 4∴当x＝?时，[f(x)]max＝当x＝0时，[f(x)]min＝－1
1例3. 已知sinx＋siny＝3，求siny－cos2x的最大值．
解：∵sinx＋siny＝ ∴siny＝
13131?sinx3
∴siny－cos2x＝?sinx－(1－sin2x)
＝??sinx?sin2x ＝(sinx?)2?1211 1223又∵－1≤siny≤1 ∴?1?231?sinx?1 3 而－1≤sinx≤1
∴?≤sinx≤1
∴当sinx＝?时，siny－cos2x取得最大值。
变式训练3：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2＝ac，求y＝取值范围． 解：y＝(sinB?cosB)sinB?cosB223491?sin2B的
sinB?cosB2?sinB?cosB?2sin(B??4)
又cosB＝a∴ 0＜B≤∴ 1＜
2
?c2?b2a2?c2?ac≥1?22ac2ac
?7??? ∴＜B＋≤
44123sin(B＋
2
?4)≤
2
即1＜y≤
例4．设a≥0，若y＝cos2x－asinx＋b的最大值为0，最小值为－4，试求a与b的值，并求出使y取得最大、最小值时的x值． 解：原函数变形为
a2a2y＝－(sinx?)?1?b?
24∵－1≤sinx≤1，a≥0
∴若0≤a≤2，当sinx＝－时 ymax＝1＋b＋
a24a2＝0 ①
2当sinx＝1时，ymin＝－(1?a)2?1?b?a
24＝－a＋b＝－4 ② 联立①②式解得a＝2，b＝-2 y取得最大、小值时的x值分别为： x＝2kπ－
?2(k∈Z)，x＝2kπ＋
a2?2(k∈Z)
若a＞2时，∈(1，＋∞)