注：该结论可以推广到其它任一函数． 典型例题 例1. 化简f (x)＝cos(
6k?16k?1???2x)＋cos(??2x)＋23sin(＋2x)(x∈R，k∈Z)．并求f (x)333的值域和最小正周期． 解：(1) f(x) ＝2sin(ax＋
?)(0＜a＜1) 3由于f(x)·g(x)最小正周期相同 得
2??＝ 即a＝2m am又f(1)＝2g(1) 即2sin(a＋把a＝2m代入得sin(2m＋
??)＝2tan(m＋)
63??)＝tan(m＋)
63sin(m?
)
??6∴2sin(m＋)cos(m＋)＝
?66cos(m?)6
?∴sin(m＋
??2)＝0或cos(m＋)＝± 662??)＝0时，m＝k?－(k≠z)，这与0＜m＜1矛盾． 66当sin(m＋当cos(m＋a＝
? b?5??2)＝±时，m＝k?＋或m＝k?－?(k∈z)，现由0＜m＜1时得m＝故61212122∴f(x)＝2sin(
????x＋)，g(x)＝tan(x＋) 66123????≤x＋≤2k?＋得 2623(2) 由2k?－
x∈[12k－5，12k＋1]
∴f(x)的单调递增区间为[12k－5，12k＋1] (k∈z) 变式训练1：已知函数f(x)?3sin(2x?)?2sin2(x?6??12) (x?R)；
（1）求函数f(x)的最小正周期；
（2）求使函数f(x)取得最大值的x的集合． 解：(1)f(x)?3sin2(x??12)?cos2(x??12)?1
＝2??3?1??sin2(x?)?cos2(x?)??1
12212??2??
＝2sin??2(x???12)????1?2sin(2x?)?1
6?3??∴T?2??? 2(2)当f(x)取最大值时，sin(2x－有2x－
?)＝1 3??5?＝2k?＋ 即x＝k?＋(k∈z) 3212?5??,k?z? 12?故所求x的集合为??x|x?k??例2已知函数f (x)＝⑴ 求f (x)的定义域．
2sinx1?cos2x
⑵ 用定义判断f (x)的奇偶性． ⑶ 在[－π，π+上作出函数f (x)的图象． ⑷ 指出f (x)的最小正周期及单调递增区间．
解：(1) 由1＋cos2x＞0得2cos2x＞0 ∴cosx≠0即x≠kπ＋
?2，(k∈z)
?2∴函数f (x)的定义域为{x｜x≠kπ＋，k∈z｜}
(2)∵定义域关于原点对称，且对任意的定义域中x， f (－x)＝
2sin(?x)1?cos(?2x)??2sinx1?cos2x??f(x)
∴f (x)为奇函数. (3) f (x)＝
?2sinx2cosx?sinxcosx又x∈[－π，π]
y 且x≠－,x?2?2
???tanx(??x?)??22∴f(x)＝?
????tanx(???x??或?x??)?22?? 2-π ?0 ?2 π x f (x)的图象如右：
(4) 由图知，f(x)的最小正周期为2π． f (x)的单调递增区间是(??2?2k?,?2?2k?)(k∈z)
变式训练2：求下列函数的定义域： （1）y=lgsin(cosx);（2）y=sinx?cosx.
解 （1）要使函数有意义，必须使sin(cosx)＞0. ∵-1≤cosx≤1,∴0＜cosx≤1.
方法一 利用余弦函数的简图得知定义域为{x|-??+2k?＜x＜+2k?,k∈Z}. 22方法二 利用单位圆中的余弦线OM，依题意知0＜OM≤1, ∴OM只能在x轴的正半轴上， ∴其定义域为
?????x|??2k??x??2k?,k?Z?.
22??（2）要使函数有意义，必须使sinx-cosx≥0.
方法一 利用图象.在同一坐标系中画出［0,2?］上y=sinx和y=cosx的图象，如图所示.
在［0，2?］内，满足sinx=cosx的x为所以定义域为??x|??5?，，再结合正弦、余弦函数的周期是2?, 44?4?2k??x?5???2k?,k?Z?. 4?方法二 利用三角函数线， 如图MN为正弦线，OM为余弦线， 要使sinx≥cosx,即MN≥OM， 则
?5?≤x≤（在［0，2?］内）. 44∴定义域为
5?????2k?,k?Z?. ?x|?2k??x?4?4?方法三 sinx-cosx=2sin(x?)≥0，
4?将x-
?视为一个整体，由正弦函数y=sinx的图象和性质 4?≤?+2k?, 4可知2k?≤x-解得2k?+
?5?≤x≤+2k?,k∈Z. 44
所以定义域为??x|2kx???4?x?5???2k?,k?Ζ?. 4?例3设函数f(x)?sinax?3cosax(0?a?1)，g(x)?tan(mx?)(0?m?1)，已知f(x)、g(x)的最小正
6?周期相同，且2(g)＝f(1)； （1）试确定f(x)、g(x)的解的式； （2）求函数f(x)的单调递增区间．
x解：(1)当a＝1时，f(x)＝2cos2＋sinx＋b
2
＝∴递增区间为[2kπ－
2sin(x??4)?b?1
3??,2k??44](k∈z)
2asin(x?(2)∵f (x)＝a(sinx＋cosx)＋a＋b＝而x∈[0，π]，x＋∴sin(x＋
?4?4?4)?a?b
∈[
?5?4,4]
)∈[?2,1] 2?2a?a?b?3?∴?2?2a(?)?a?b?42? ∴???a?1?2
?b?4?变式训练3：已知函数f (x)＝log1(sinx－cosx)
2⑴ 求它的定义域和值域； ⑵ 求它的单调区间； ⑶ 判断它的奇偶性；
⑷ 判定它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期． 解：(1) 由题意得：sinx－cosx＞0即从而得2kπ＋
?42sin(x－
?4)＞０
＜x＜2kπ＋π
?4，2k?＋5?454函数的定义域为(2k?＋∵0＜sin(x－
?4)(k∈z)
2)≤1 ∴0＜sinx－cosx≤
2
12即log 1(sinx－cosx)≥log 122＝－故函数f (x)的值域为[－，＋∞]
?412(2) ∵sinx－cosx＝
2sin(x－
，2k?＋)在f(x)的定义域上的单调递增区间为(2k?＋](k∈z)
3?5?，2k?＋44)(k∈z)，单
调递减区间为[2k?＋?43?4
(3) ∵f(x)的定义域在数轴上对应的点关于原点不对称． ∴f(x)是非奇非偶函数．
(4) ∵f(x＋2π)＝log 1[sin(x＋2π)－cos(x＋2π)]
2＝log 1 (sinx－cosx)＝f(x)
2∴f (x)函数的最小正周期T＝2π
例4.已知函数y＝acosx＋b的最大值为1，最小值是－3，试确定f(x)＝b sin(ax＋间．
解：(1)若a＞0，则a＋b＝1，－a＋b＝－3， ∴ a＝2，b＝－1，此时，f(x)＝－sin(2x＋单调增区间为[kπ＋单调减区间为[kπ－
?7?，kπ＋] (k∈z)
12125??，kπ＋] (k∈z) 1212?)的单调区3?) 3(2) 若a＜0，则－a＋b＝1，a＋b＝－3， ∴ a＝－2，b＝－1， 单调增区间为[kπ－单调减区间为[kπ＋
?5?，kπ＋] (k∈z)
12125?11?，kπ＋] (k∈z) 1212变式训练4：某港口水的深度y（米）是时间t(0≤t<24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的数据：
t（时） 0 3 6 9 12 10 y（米） 10 13 t（时） 15 18 9.9 7 21 24 10 y（米） 13 10.1 7 经过长期观察，y＝f(t)的曲线可以近似地看成函数y＝Asinωx＋b的图象． （1）试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似表达式；
（2）一般情况下，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底中需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果希望该船在一天内安全进出港，请问，它至多在港里停留多长时间（忽略进出港所需的时间）？ 解：(1) 由已知数据，易知函数y＝f(t)的周期T＝12，振幅A＝3，b＝10 ∴y＝3sin
?t＝10 6(2) 由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5(米)