16sin22－4sinα－11＝0 解得sin??∵2?(0,?)?sin??0 故sin???变式训练3：已知sin(解：cos(＝2sin2(
?6??)＝
1?35 81?35 812?，求cos(?2?)的值．
332??＋2α)＝2cos2(＋α)－1 33?7－α) －1＝－ 69?)，求sinα、tanα的值． 2例4．已知sin2 2α＋sin2α cosα－cos2α＝1，α?(0，解：由已知得
sin22α＋sin2αcosα－2cos2α＝0 即(sin2α＋2cosα) (sin2α－cosα)＝0 cos2α(1＋sinα) (2sinα－1)＝0 ∵α∈(0，
?2) cosα≠0 sinα≠－1
12∴2sinα＝1 sinα＝ ∴tanα＝
33
变式训练4：已知α、β、r是公比为2的等比数列(??[0,2?])，且sinα、sinβ、sinr也成等比数列，求α、β、r的值．
解：∵α、β、r成公比为2的等比数列． ∴β＝2α，r＝4α
∵sinα、sinβ、sinr成等比数列 ∴
sin?sinrsin2?sin4?????cos??2cos22?1 sin?sin?sin?sin2?12即2cos22?cos??1?0，解得cosα＝1或cos???
当cosα＝1时，sinα＝0与等比数列首项不为零矛盾故cosα＝1舍去 当cos???时，∵2∈*0,2π+ ∴2?∴??122?2?或2? 332?4?8?4?8?16?,??,r?或??,??,r? 333333 小结归纳
1．二倍角公式是和角公式的特殊情况，在学习时要注意它们之间的联系；
2．要理解二倍角的相对性，能根据公式的特点进行灵活应用(正用、逆用、变形用)． 3．对三角函数式的变形有以下常用的方法： ① 降次（常用降次公式）
② 消元（化同名或同角的三角函数） ③ 消去常数“1”或用“1”替换 ④ 角的范围的确定
第5课时 三角函数的化简和求值
1．三角函数式的化简的一般要求： ① 函数名称尽可能少； ② 项数尽可能少； ③ 尽可能不含根式；
④ 次数尽可能低、尽可能求出值．
2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次． 3．求值问题的基本类型及方法
① “给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解．
② “给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同；
③ “给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角．
4．反三角函数arcsinα、arccosα、arctanα分别表示[?, 典型例题 cos40??sin50?(1?3tan10?)sin701?cos40??基础过关 ??22]、[0，π+、（?,??22）的角．
例1. （1）化简：
1?sin6x?cos6x （2）化简：
1?sin4x?cos4xcos10??3sin10?解：∵1?3tan10?
cos10??2cos(60??10?)2cos50? ＝ ∴原式 ?cos10?cos10?2sin50?cos50?cos40??cos40??12cos220?cos10???=2 sin70??2cos20?2cos220?2cos220??变式训练1：已知f(x)?解：
2 sin??1?x，若??(,?)，则f(cos?)? f(?cos?)可化简为 ．
21?x
例2. 已知6sin2??sin?cos??2cos2??0，α∈[
??，?]，求sin（2α＋）的值． 23解法一：由已知得(3sinα＋2cosα) (2sinα－cosα)＝0
?3sinα＋2cosα＝0
或2sinα－cosα＝０
22由已知条件可知cosα≠0 ∴α≠?即α∈(?,π) ∴tanα＝－ sin(2α＋?)＝sin2αcos
323?＋cos2αsin?
33＝sinαcosα＋＝＝
sin?cos?cos2??sin2?tan?32(cos2α－sin2α)
3cos2??sin2??2cos2??sin2??
31?tan2???21?tan2?1?tan2?653?1326
＝?
解法二：由已知条件可知cosα≠0 则α≠?
2从而条件可化为 6 tan2α＋tanα－2＝0 ∵α∈(?,π) 解得tanα＝－2(下同解法一)
23变式训练2：在△ABC中，sinA?cosA?解：∵sinA＋cosA＝∵2sinAcosA＝－1
22，AC?2，AB?3，求tanA的值和△ABC的面积． 222 ①
从而cosA＜0 A∈(?2,?)
∴sinA－cosA＝(sinA?cosA)2?4sinAcosA ＝
62 ②
6?24据①②可得 sinA＝∴tanA＝－2－S△ABC＝3(6?2)43 cosA＝
?6?2 4
11，tanβ＝-，且α、β∈（0，?），求2α－β的值. 27例3. 已知tan(α－β)＝
解：由tanβ＝－1 β∈(0，π)
7得β∈(?, π) ①
2由tanα＝tan*(α－β)＋β+＝1 α∈(0，π)
3得0＜α＜? ∴ 0＜2α＜π
2由tan2α＝3＞0 ∴知0＜2α＜? ②
42∵tan(2α－β)＝
tan2??tan?1?tan2?tan?＝1
由①②知 2α－β∈(－π，0) ∴2α－β＝－
3? 4(或利用2α－β＝2(α－β)＋β求解)
)154变式训练3：已知α为第二象限角，且sinα＝，求的值．
sin2??cos2??14sin(???解：由sinα＝∴cosα＝－1
4154 α为第二象限角
∴＝
)44?sin2??cos2??12cos?(sin??cos?)sin(???)sin(???
122cos?＝－
2
例4．已知
3?10????,tan??cot???． 43（1）求tanα的值； （2）求
5sin2?2?8sin?2cos?2?11cos2?2?82sin(???2的值．
)解：（1）由tan??cot???10 313得3tan22?10tan??3?0 解得tanα＝－3或tan??? 又
3?1????，所以tan???为所求．
34（2）原式：?
5?1?cos?1?cos??4sin??11??822
?2cos?
?5?5cos??8sin??11?11cos??16?22cos?8sin?66cos??22cos??8tan??6?22??
?52 6??2sin2??sin2?变式训练4：已知，试用k表示sin?－cos?的值． ?k（<α<）
421?tan?2解：∵2sin??sin2?1?tan??2sin?cos?
∴k＝2sinαcosα ∵(sinα－cosα)2＝1－k 又∵α∈(,
??42
) ∴sinα－cosα＝
1?k
小结归纳 1．三角函数的化简与求值的难点在于：众多的公式的灵活运用和解题突破口的选择，认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在;
2．要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，熟悉几种常见的入手方式： ① 变换角度 ② 变换函数名 ③ 变换解析式结构
3．求值常用的方法：切割化弦法、升幂降幂法、辅助元素法、“1”的代换法等．
第6课时 三角函数的恒等变形
基础过关 一、三角恒等式的证明
1．三角恒等式的证明实质是通过恒等变形，消除三角恒等式两端结构上的差异（如角的差异、函数名称的差异等）．
2．证三角恒等式的基本思路是“消去差异，促成同一”，即通过观察、分析，找出等式两边在角、名称、结构上的差异，再选用适当的公式，消去差异，促进同一． 3．证明三角恒等式的基本方法有：⑴ 化繁为简；⑵ 左右归一；⑶ 变更问题． 二、三角条件等式的证明
1．三角条件等式的证明就是逐步将条件等价转化为结论等式的过程，须注意转化过程确保充分性成立．
2．三角条件等式的证明，关键在于仔细地找出所附加的条件和所要证明的结论之间的内在联