彩票中的数学 摘要：
近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额奖金的刺激使越来越多的人加入到“彩民”的行列。如何购买彩票才能在一夜之间成 为百万富翁，或者说最划算呢，是众多彩民最迫切希望取得的“真经”；而彩票公司则希望取得最多的利润。如何调和矛盾的双方使得大家“双赢”便成为我们这篇 论文的中心论题。
目前流行的“传统型”与“乐透型”两种彩票类型，采用公司与彩民各得销售总额的50%的原则，双方的利益均取决于销售总额的大 小，因此“双赢”的问题转化为怎样提高销售总额。众所周知，彩民购买一种彩票是否踊跃取决于奖项的设置，奖金额的高低，中奖概率的大小，以及不同生活水 平，不同文化背景的人如何看待这些设置，因此我们解决该问题的途径便是根据彩民心理曲线，综合考虑各奖项出现的可能性，奖项和奖金额的设置，得出针对不同 人群的风险型优化目标。
一． 问题的提出
近年来社会上出现的彩票越来越多，买彩票的人也越来越多，这样就需要选出一种较好的方案，使得彩票公司和购买彩票的人都较满意。 当前出现的主要的彩票类型大致分四种： （１）“传统型”
采用“10选6+1”方案，这种方案要求所选有序号码可重复，中奖等级由单注中奖号码相符的个数及顺序确定；
（２）“乐透型”有特别号码（不另选特别号） 这种方案要求所选无序号码不重复，同时设有特别号码，特别号码从彩民所选未中号码中考虑，彩民不另选特别号码，中奖等级由单注中奖号码的个数决定； （３）“乐透型”有特别号码（基本号与特别号分别选） 选出一组无序不重复号码作为基本号，再从剩余号码中选出一个特别号，中奖等级由单注中奖号码的个数决定；
（４）“乐透型”无特别号码
这种方案要求号码不重复，而且不考虑号码顺序，且没有特别号码，中奖等 级只由中奖号码相符的个数决定。
以上类型的总奖金比例一般为销售额的50%；投注者单注金额为2元，若中奖只
得最高奖项，不兼得低级别奖项；低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元。
选取评定彩票优劣的原则，评价已知几种彩票的合理性，并提出该原则下的最优方案，再给广大彩民提供一些选购彩票的基本参考。
二． 模型假设
a) 票摇奖是公平的，各号码的出现是随机的；
b) 彩民购买彩票是随机的独立事件，且均购买自己认为最有利的类型；
c) 彩民购买一种彩票的踊跃性正比于所定优化目标函数值，即取决于获奖概率，奖金额和奖项设置；
d) 对同一方案中高级别奖项的奖金比例或奖金额不应低于相对低级别的奖金比例或奖金额。
三． 符号说明
——第j等（高项）奖占高项奖总额的比例，j=1，2，3； ——第i等奖金额均值，1<=i<=7；
——彩民中第i等奖xi的概率，1<=i<=7；
——彩民对某个方案第I等奖的满意度，即第i等奖对彩民的吸引力，1<=i<=7； ——某地区的“实力因子”，从彩票购买量的实际数据综合分析而得，一般为常数； F——彩票方案的合理性指标，即方案设置对彩民吸引力的综合指标；
——第i等奖的奖金额比等奖的奖金额高的倍数，由已知方案数据统计而得； m,n——m选n方案（加1或不加1方案，视在文中出处而定）。
四． 模型的建立
（一） 彩民获各项奖的概率： K1:10选6+1(6+1/10)型 K2:m选n(n/m)型
K3:m选n+1(n+1/m)型
K4:m选n(n/m)无特别号型
（各个奖项的获奖概率见附表1.）
（二）各单项奖的奖金：
由题知，单注所有可能的低项奖总额为 ，故单注可能的第j项（高项）奖奖金额平均值为 （各个奖项的获奖金额见附表2.）
（三）确定彩民的心理曲线
不同地域，不同文化背景，不同性格的人对同一事件的心理反应是不同的，因此，可借用模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识，根据人们通常对一件事物的心理变化一般遵循的规律，考察彩民对一个方案的各个奖项及奖金额的看法（即对彩民的吸引力）拟订彩民的心理效用曲线
其中 表示彩民的实力因子，一般为常数。
（四）实力因子的计算
实 力因子反应的是一定范围内具有相似生活水平与人文背景的彩民投资彩票可能性大小的指标，它不仅与个人经济实力有关，也与其周围投资彩票的风气以及本人是避 险型、趋险型心理有关，很难以统一标准来衡量全国各地众生百态的这一指标，为此我们先用几种彩票销售额（附录3）的全国均值来确定 ，再根据统计分析的结果得出全国此因子值不同的几个分区（利用多元统计中的变量聚类方法，在SAS软件中为varclus命令），分别加以计算。结果列表 如下： 地区
全国平均 403.192261
北京 内蒙古 辽宁 福建 湖北 湖南 贵州 1006.59899 天津 河北 安徽 江西 山东 云南 94.7208517 山西 黑龙江 河南 陕西 108.466411
吉林 浙江 广东 四川 578.945925 上海 海南 甘肃 194.227339
江苏 广西 重庆 新疆 86.3084778 (五）目标函数的确定
彩民购买彩票就是进行了一项风险投资，因此可根据决策分析理论，综合运用 心理效用函数和期望值原则，采用 为风险决策的益损函 数，得出目标函数
五． 模型的求解
在我们所确定的目标函数下，取定实力因子为统计分析所得的几个值，则可由Matlab程序求得29种方案的吸引力值，排序如下： 方案数 合理性值 方案数 合理性值
1 1.533901590898023e-006 2 1.060174412539086e-006 3 9.468101424530615e-007 4 9.021924272551504e-007 5 1.277373003498769e-006 7 7.510989606248021e-007 8 6.586619211106454e-007 9 6.693703167008767e-007 10 6.441986577795087e-007 11 7.079044868682156e-007 12 1.018908600738202e-006 13 6.841489679917499e-007 14 6.585124604903410e-007 15 7.149225357756267e-007 16 6.100762723833729e-007 17 1.202692659306653e-006 18 9.048169500016152e-007 19 1.112085026872884e-006 20 6.617732914819198e-007 21 5.528812514580733e-007 22 6.917596329876077e-007 26 8.125405970535384e-007 27 8.366418170314697e-007 28 8.018633500678174e-007 29 1.158186146333304e-006 6 9.023156591971661e-007 24 3.248289984757205e-007 25 3.165805189499602e-007 23 1.618317698268405e-007
由以上数据，我们得知在全国平均实力水平下，前7款最具合理性的彩票设置方案依次为： 方案数 合理性值 设置方案 排序
1 1.5339e-006 6+1/10 50% 20% 30% 50 0 0 0 1 5 1.2773e-006 7/29 60% 20% 20% 300 30 5 0 2 17 1.2026e-006 7/34 65% 15% 20% 500 30 6 0 3 2 1.0601e-006 6+1/10 60% 20% 20% 300 20 5 0 4 29 1.1581e-006 5/60 60% 20% 20% 300 30 0 0 5 19 1.1120e-006 7/35 70% 15% 15% 300 50 5 0 6 12 1.0189e-006 7/32 65% 15% 20% 500 50 10 0 7
六． 优化方案的确定
根据对模型的建立与求解，我们剩下的问题是选取哪一种彩票类型，哪一种取球方案（m,n取何值），设置哪些奖项，高项奖的比例和低项奖的奖金额如何设定，可使目标函数 有最大值。
设以m，n，rj（j=1,2,3），xj（i=4，5，6，7）为决策变量，以它们之间所满足的关系为约
束条件，则可得非线性规划模型：
关于条件约束的说明：
1. 这是利用已确定信息计算高额奖金； 2. 心理效用函数的确定； 3. 对前三等奖比例的约素；
4. 限定一等奖的获奖比例不会太大或太小；
5. 由题目要求给出的一等奖的保底金额与封顶金额；
6. 对已知的29种彩票设奖金额进行统计所得出的第i等奖奖金额与第i+1等奖 奖金额应满足的关系，其中
bi=1.0e+003 *[2.1409, 0.1000, 0.3290, 0.0200, 0.0100, 0.0100], ai=[10.0000, 4.0000, 3.0428, 2.0000, 2.0000, 2.0000].
7. 说明由选球方案所决定的中奖概率应符合一般习惯：高一级奖的中奖概率低于 低一级奖的中奖概率； 8. 选出球数的范围； 9. 供选球数范围；
10.保证分配比例和奖金额非负的限定。
根据以上条件，利用Matlab进行非线形整数规划，我们得到新的最优方案为：
合理性值 设置方案
1.60742e-006 6/32 0.708983 0.0955094 0.195507 50 3 0 0
七． 模型的改进。
当我们使用各地区的实力因子来分别考虑最优方案时，仍然使用上面的最优模型，运行程序可得各地最优彩票设置为：
北京 内蒙古 辽宁 福建 湖北 湖南 贵州 29/7 0.73 0.170000 0.0999998 100 10 5 0 天津 河北 安徽 江西 山东 云南 32/7+
全国一等奖
关于彩票问题的数学模型
电子科技大学
指导教师：张勇
参赛队员：付小锋 丘允阳 胡俊东
2002.9.23
关于彩票问题的数学模型
摘要：
本文对彩票问题从数学的角度进行了分析研究，对29种常见方案的合理性进行了综合评价，设计了两种“更好”的方案。
首先，计算出各类型彩票各奖项的中奖概率。将中奖面和一等奖单注奖金的期望值作为方案合理性的评价指标，建立了一双目标优化模型。考虑到中奖面和一等奖单注奖金的期望值处于不同的数量级，对它们进行了规一化处理，然后引入非负加权因子，从而将双目标优化模型转化为单目标优化模型进行求解。考虑到不同的彩民对中奖面和一等奖单注奖金期望值的偏好程度不同，给出了适合于不同彩民的合理方案。
我们分别设计了面向“保值型”彩民的“22选5”方案和面向“激进型”彩民的双彩池摇奖方案，给出了相应的算法并对其可行性进行了分析。对彩票管理部门提出了设“积宝池”、使用调节基金、采用“二次开奖”和“附加奖”等建议。
最后，对模型进行了分析和评价，提出了模型的改进方向。并给报纸写了一篇关于合理选择彩票问题的文章。
关于彩票问题的数学模型 一、
问题的提出：
巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。
“传统型”采用“10选6+1”方案，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级（具体摇奖规则及中奖等级说明见附件一）；“乐透型”有多种不同的形式，分为“m选n”型方案和“m选n+1”型方案，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序（具体摇奖规则及中奖等级的说明见附件二）。
已知这两种类型彩票的总奖金比例一般为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，