单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如附表三，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元，各高项奖额的计算方法为：
[(当期销售总额 ×总奖金比例) -低项奖总额 ]×单项奖比例
（1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。
（2）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。 （3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。 二、
问题分析：
问题的第一问要求对29种彩票方案进行综合分析并评价各方案的合理性，考虑彩票发行人的获利情况和彩票方案对彩民的吸引力两个方面因素，分析彩票方案合理性。一套方案对彩民的吸引力越大，则它的销售总额也就越大；在销售规则不变的前提下，发行人的获利就越多。因此，方案对彩民的吸引力是影响彩票方案合理性的主要因素。
要评价方案的合理性关键在于确立关于方案合理性的评价指标。根据“不确定条件下消费者选择理论”，中奖率低但中奖额高是影响吸引力的主要因素。因此可以考虑将彩票的中奖面和高等奖单注奖金的期望值作为评价指标，来衡量各方案的合理性。
由于一等奖占高等奖奖金的60%以上，可以考虑用一等奖单注期望值代替高等奖单注奖金期望值作为评价指标，这并不影响对方案合理性的分析。由于一等奖单注奖金的期望值和中奖面之间又存在相互制约的关系，可以考虑建立双目标优化模型对问题进行研究。不同类型的彩民对两者的偏好程度不一样，高风险倾向彩民主要偏向于一等奖单注奖金的期望值，低风险倾向彩民主要偏向于中奖面。根据实际情况，可以引进偏好系数，考虑在不同偏好系数下，适合该类型彩民的合理性方案。 三、
基本假设：
1) 彩票的摇奖过程是公正的，即能够保证基本号和特别号的产生是随机的。 2) 单注彩票若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。 3) 各类型彩票的总奖金比例为其当期销售总额的50%。 4) 一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元。
5) 当期未中出的浮动奖奖金，或者超出头等奖单注封顶限额部分的奖金，考虑自
动滚动到下一期一等奖，直至中奖。 6) 不考虑中奖弃领的情况。
7) 只讨论“传统型”和“乐透型”两种类型。
8) 方案中没有设置奖金的奖项的中奖概率计为零。 四、
变量说明：
1) k ：销售方案中设置的最低奖项的等级。 2) Pi (i=1,2,?,k) ：第i等奖出现的概率。
3) qi (i=4,5,?,k) ：低项奖中第i等奖对应的固定奖金额。 4) ti (i=1,2,3) ：高项奖中第i等奖对应的分配比例。 5) N ：当期彩票的总投注数（单位：注）。 6) Z ：一等奖奖金的期望值。 7) P ：彩票的中奖面。
8) m ：摇奖时的号码球总数。（单位：个）
9) n ：基本号码球个数。（单位：个） 10) P：29种方案中奖面的平均值。 11) P：P与P的比值。 *
??12) Z：29种方案一等奖单注奖金的平均期望值。 13) Z：Z与Z的比值。 *
??１：彩民对中奖面的偏好系数。 14) ?15) ?２：彩民对一等奖的偏好系数。 五、
模型的建立和求解：
（一）建模前的准备：
1、 对彩票各奖项的中奖概率的讨论：
通过对彩票的各种方案进行分析，发现彩票共可分为“传统型”、“乐透型”中的“从m中选n”和“从m中选n+1”型。为此，我们对这三种类型彩票各奖项的中奖概率分别进行讨论：
1)“传统型”彩票各奖项的中奖概率（以一注为单位，计算每一注彩票的中奖概率）： 一等奖：前6位数有106种可能，,特别号码有5种可能，共有106×5=5000000种选择，而一等奖号码只有一个。因此，一注中一等奖的概率为：
P 1= 1 /5000000 = 2×10-7= 0.0000002
二等奖：前6位数相同的，只有一种可能，故中二等奖的概率为 ：
Ｐ2= 1 /1000000 = 10-6= 0.000001 ；
三等奖：有18个号码可以选择，故中三等奖的概率为：
Ｐ3 = 18/ 1000000 = 0.000018 ；
四等奖：有252个号码可以选择，故中四等奖的概率为：
Ｐ4= 252/ 1000000 = 0.000252 ；
五等奖：有3420个号码可以选择，故中五等奖的概率为：
Ｐ5= 3420/ 1000000 = 0.00342 ；
六等奖：由于其特殊性，考虑如下：
① 不考虑号的重复：
abXXXX是六等奖号，所以不能是abXdef型，就有9?103-9个号
同理： XXXXef也有9?103-9个号
其他类型号不存在这种情况，都有92?103个号 所以总的不重复的号有：42282个号 ② 考虑重复的号的个数：
分析可发现重复号的类型有：abXcdX , XbcXef , abXXef,这三种类型每种有81个号，所以重复的号的个数为：243个
③ 总的中奖号数目：42282-243=42039
故中六等奖的概率为：
Ｐ6= 42039 / 1000000 = 0.042039。
合起来，每一注总的中奖率为：
Ｐ =Ｐ1 +Ｐ2 +Ｐ3 +Ｐ4+Ｐ5+P6= 0.0457302 ≈ 4.6%，
这就是说，每1000注彩票，约有 46注中奖 (包括一等奖到六等奖 )。
2)“乐透型”中“从m中选n”型彩票各奖项的中奖概率（以一注为单位，计算每一注彩票的中奖概率）：
此类型彩票开奖时从m个号码球中随机抽取 n+1个号码球，前 n个为基本号，第 n+1个为特别号码。从排列组合的知识可以得出，从 m个数码中随机抽取 n个数码组成一个中奖数组，而且与这 n个数码的顺序无关，所以这是一个组合问题。因此，从 m个数码中随机抽取 n个数码的组合数是Cm。
n
1一等奖：一等奖号码只有一个。因此，一注中一等奖的概率为：Ｐ1 =
n?1Cnm；
二等奖：二等奖 (n-1个基本号码加一个特别数码)的组合数为Cn。 三等奖：三等奖 (n-1个基本号码)的组合数为Cnn?1?Cm?n?11。
四等奖：四等奖 (n-2个基本号码加一个特别数码)的组合数为Cn五等奖：五等奖 (n-2个基本号码)的组合数为Cnn?2n?2?Cm?n?11。
?Cm?n?12。
n?3六等奖：六等奖 (n-3个基本号码加一个特别数码)的组合数为Cn七等奖：七等奖 (n-3个基本号码)的组合数为Cnn?3?Cm?n?12。
?Cm?n?13。
故“乐透型”中“从m中选n”型彩票各奖项的中奖概率为：
1Ｐ1 = Cm；Ｐ2
nC= Cn?1nnmC；Ｐ3 =
n?1n?Cm?n?1nm1C；Ｐ4 =
n?3nn?2n?Cm?n?1nm1C2nmC。
；
CＰ5=
n?2n?Cm?n?1nm2C；Ｐ6=
n?3n?Cm?n?1；P7=
C?Cm?n?1nm3CCC3)“乐透型”中“从m中选n+1”型彩票各奖项的中奖概率（以一注为单位，计算每一注彩票的中奖概率）：
采取类似于2)的分析方法，可以求出“从m中选n+1”型彩票各奖项的中奖概率为：
1Ｐ1 =
Cnn?1m；Ｐ2
2C= C1m?n?1n?1mC；Ｐ3 =
n?2n3n?1n?Cm?n?1n?1m1C；Ｐ4 =
n?1n?Cm?n?1n?1m2CC。
；
CＰ5=
n?2?Cm?n?1n?1mC；Ｐ6=
?Cm?n?1n?1mC；P7=
n?3n?Cm?n?1n?1m3CCC4）第23种方案：此方案属于“35选7”的特殊“乐透型”，但是此方案中没有设置特别号码。各奖项中奖概率如下计算：
7?i?1i?1C7?C287C35第i等奖中奖概率为：
（i=1,2?5）。
具体所提供的29种方案各奖项的中奖概率（即各种奖项出现的可能性）见附表四（各奖项的中奖概率分布表）。 对各方案影响因素的讨论：
彩票的方案是否合理受到多种因素的共同影响，我们考虑将中奖面和一等奖单注奖金的期望值作为评价的两个指标，对各方案的合理性进行评价。中奖面越广，一等奖单注奖金的期望值越高，对彩民的吸引力也就越大。对彩民吸引力增大，必然导致彩票销售总额的增加，从而方案也就越合理。下面对各目标函数分别进行讨论： 1)
彩票的中奖面P：
中奖面为中奖的彩票总数与该期彩票的总投注数的比值。彩票中奖面的大小与彩民的直接利益息息相关，如果中奖面广，单注的中奖概率就增大，对于彩民来说他购买彩票能够中奖的机率也就增加。因此，中奖面是衡量方案合理性的重要因素之一。在此，我们用各获奖项的概率之和作为彩票中奖面大小的衡量指标，即：
中奖面
P??Pii?1k (i=1,2,?,k)；
（Pi为第i等奖出现的概率）
2) 一等奖单注奖金的期望值Z：
通过对彩票业的良好现状及大量的资料进行分析，发现彩票的“巨额诱惑”是导致“彩民”数急剧增大，彩票业蓬勃发展的重要因素之一。也就是说当前大多数彩民对一等奖的关注程度远远超过了对其他奖项的关注程度，一等奖单注奖金的期望值的高低决定着对彩民的吸引力的大小。因此，一等奖单注奖金的期望值也是衡量方案合理性的重要因素之一。一等奖单注奖金的期望值Z为：
kk1(N?2??N??Pi?qi)?t1(1??Pi?qi)?t12i?4i?4N?PP11Z = =
（变量说明：N为当期彩票的总投注数；Pi (i=1,2,?,k) 为第i等奖出现的概率；
qi (i=4,5,?,k) 为低项奖中第i等奖对应的固定奖金额；t1 方案中一等奖对应的分
配比例。）
３、对各约束条件的讨论：
方案对彩民的吸引力主要与高项奖和低项奖的设置有关。设置高额巨奖的目的是激发人们的博彩心理，刺激他们去购买彩票。因此高项奖的奖金额必须足够高才能对彩民有足够的吸引力。设置中、低等奖的目的主要是满足多数人的心理需求。人们的中奖心理具有递进性，中了中、低等奖之后，往往会唤起拿到高等奖的信心与渴望。若中奖面太窄，则会使彩民受挫，打击彩民购买彩票的信心。
另外，一、二、三等奖金的比例必须适当，要使每期发下去的奖金尽可能的多，即在奖池中不能长期的驻留奖金，否则也会打击彩民的信心。
因为级差太小不能体现各奖项之间的等级差别, 而级差太大会打击彩民的信心，所以由以上分析得到以下3个约束条件：
(1) 高项奖的单注奖金比低项奖的单注奖金高。
博彩的游戏规则是单注中奖期望值与其概率成反比。我们称之为准则一；由于中奖概率随奖项等级的提高而单调递减，根据准则一有约束条件： Z1>Z2>Z3>q4