19 20 21 22 23 10 15 14 13 12 5.8785 5.7463 5.7395 5.5921 5.5454 关于权重系数对评价函数的影响，将在参数的灵敏度分析中讨论。 模型二：神经元评分法 1．模型的引出
在模型一中评价函数的确定依赖于选取的权重系数，而权重的选取过于抽象，不好制定统一的标准。为了更直观地作出评判标准，我们考虑下面的评判方式：
令 xj=[w1j w2j w3j w4j w6j w7j w8j]T xj是特征向量，向量中的7维元素分别代表7种评判指标。
通过观察找出一种较好的方案（在实际中还可选一种运作得比较好的方案，这里不妨选第22种方案），为它打一个分（分数介于0 ~ 1），不妨设为0.7。即向量x22对应分数0.7。
为了找出各种评判指标的影响，不妨分别将向量中各维元素进行变动（w5j变大，其余变小）得到7个新的向量。如将1等奖金额减小到60万，得到w1j= 0.12 ，即：
xj1=[w1j w2j w3j w4j w5j w6j w7j ]T
用同样的方法可得到其它6个新向量（这样改过后的方案较改前差），并分别对它们打分，可得下表（通过得分的变化来反应各评判指标的影响）：
表 二
向量 x221 x222 x223 x224 x225 x226 x227 ??改动的元素 ?j= w10.12 ?j= w2w2j/10 0.5 ?j= w3w3j /10 0.45 ?j= w40.001 0.5 ?j= w5?j= w6?j= w7w5j /10 w6j /10 w7j /10 0.5 0.45 0.4 目标得分 0.01 （说明：w1j降到了原来的0.02倍左右，其它几个元素仅降到原来的0.1倍左右，故x221的得分要低得多。）
考虑用单个神经元来实现目标，具体方式为：将这9个向量依次输入，目标输出依次为各向量的得分。通过对神经元进行多次训练，使实际输出尽可能接近目标输出。网络训练完成后，就可以用来对各种方案进行评分了。
?2．对神经元的简要说明（具体知识请参见参考文献[3]）： 其原理图如下：
图一：神经元工作原理图
图二：singmoid函数图形
10.90.8 -8Singmoid函数曲线 0.7y轴 0.60.50.40.30.20.10-10 -6 -4 0 x轴 -22 4 6 8 10 神经元的每一个输入wi(i=1，2，3，…，7)都对应一个相应的权值?i，所有的输入与其对应的权值的乘积之和输入给一个对数S型函数(即singmoid函数)。该神经元的另一个输入是常数1乘以阈值b。则对于该出神经元的输出：
a??wi??i?bi?17
神经元利用学习规则来调节整个网络的权值和阈值，使该网络的输出最终达到目标的期望值。
学习规则：对于输入向量x，输出 Q，目标矢量为t的神经元。该神经元的学习误差为e，则e=t- Q，此时神经元的权值阈值修正公式为：
??i?(t?Q)?wi?e?wi
?b?(t?Q)?1?e
??上述式中i=1，2，3，4，则更新的权值i与阈值b?为： ????????i ii
b??b??b
神经元的学习规则属于梯度下降法，该法则已被证明：如果能存在，则算法在有限次的循环迭代后可以收敛到正确的目标矢量。
3．神经元评分模型的求解及结果。
令权值和阈值的初值为0，目标误差为0，学习速率设为1。将向量 x22 ，x221, x222, x223, x224, x225, x226, x227, 依次输入神经元，训练20000次得到实际输出。 实际输出：0.6703 0.0112 0.5002 0.4516 0.5236 0.5003 0.4505 0.4001 目标输出：0.7 0.01 0.5 0.45 0.5 0.5 0.45 0.4
可以看出，结果还是比较令人满意的。
对通过初选的各种方案进行评分，可以得到如下表所示的结果（排序后）： 表 三 方案 评分 方案 评分 方案 评分 21 0.2702 16 0.3557 22 0.6737 15 0.2721 20 0.3764 19 0.6896 3 0.2849 17 0.4304 26 0.8112 4 0.2874 10 0.4673 7 0.8654 13 0.3193 18 0.4685 8 0.8892 12 0.3216 28 0.5323 9 0.9046 2 0.3245 11 0.5766 5 0.9775 14 0.3398 29 0.6030 可以看出，较好的是第22, 19, 26, 7, 8, 9, 5几种方案，与模型一的结果基本一致。 4．对本模型的讨论
1）训练后得到的权值和阈值分别为：
?1~?7：6.8762 5.0766 5.8363 36.3713 5.3492 9.7732 4.4363
b ：-10.1676
2）根据神经网络的知识，我们实际上得到了一个如下的评判函数：
1?a Q(a)=1?e (sigmoid函数)
其中： 六．
a??wi??i?bi?17
问题（2）模型的建立及求解
在问题（1）中，用模型一和模型二对29种方案进行评价，得出第26种方案和第5种方案都是很好的方案。因此，我们这两个方案为基础，寻找使评价函数取最大值时的一，二，三等奖奖金的比例（对四~七等奖，按原来的方案不变）。对于确定的方案，评价函数中只有前三个指标是变化的，其他指标都是定值，由此，把评价函数简化为
D????i?wiji?13
上式中的?i是权重系数，wij是第j种方案的第i个评价指标。
且
w1j?q1j5?106，
w2j?q2j5?105，
w3j?q3j5?104，
其中q1j， q2 j， q3 j 可由②式计算 由此建立线性规划模型：
Max
(?1?q1j5?106??2?q2j5?105??3?q3j5?104) ③
?6?105?q1j?5?106??10?q3j?q2j?100?q3js.t??4?q4j?q3j?50?q4j?10?q2j?q1j?100?q2j?
一，二，三等奖的比例?1j，?2j，?3j与q1j， q2 j， q3 j关系为：
q1j?
(Q?50%??E(nij)?qij)??1ji?47E(n1j)(Q?50%??E(nij)?qij)??2ji?47；
q2j?E(n2j)
q3j?(Q?50%??E(nij)?qij)??3ji?47E(n3j)
用线性规划模型可以求出q1j， q2 j， q3 j的值，然后根据?1j，?2j，?3j与q1j， q2
j，
q3 j的关系式计算?1j，?2j，?3j的值。 用MATLAB软件求得的结果为：
采用模型一的评价函数，以第26种方案为基础求得：?1j，?2j，?3j的值为71.93%，
21.93%，6.14%，评价函数的值是9.2051（原方案的为8.7670）。
采用模型二的评价函数，以第5种方案为基础求得：?1j，?2j，?3j的值为83.63%，13.53%，2.84% 评价函数的值是0.98（原方案的为0.9775）。 七．
参数的灵敏度分析
对模型一中权重系数的分析 从两个方面分析权重系数 1． 权重系数对评价函数的影响
选第12种方案为研究对象，依次分析每个权重系数对评价函数D12值的影响。在对某个系数进行分析时，其它系数的值不变。
由于评价函数是线性函数，因此，当只改变一个权重系数的值时，评价函数与权重系数是成线性关系的。以?1为例，当?1分别取2和3，D12的值为4.1270，4.4816，则?1每增加一个单位，D12的值增加4.4816－4.1270=0.3546。对其它的权重系数可作类似的计算，把权重系数增加一个单位，D12的变化记为⊿D12，则可得到下表：
表 四
权重系数 ⊿D12 ?1 0.3546 ?2 0.1169 ?3 0.0649 ?4 0.0048 ?5 0.2971 ?6 0.2080 ?7 0.4991 令参数?i的灵敏度为di，则由表的数据可以得到结论：
d7?d1?d5?d6?d2?d3?d4
2． 权重系数对23种方案的合理性排序的影响
分析权重系数的影响：我们采用在其它系数值不变的前提下，分别改变各个系数的大小，得到各个情况下评价函数值排在前八位方案的变化情况（见下表）。 （?1?6,?2?3,?3?1,?4?40,?5?4,?6?3,?7?2，分别改变各个权重系数的
值）
?1 4 5 6 7 8 结果（前八位） 5,9,8,7,26,22,19,2 26,5,22,9,8,7,19,4 26,22,19,5,9,8,7,29 26,22,19,9,5,20,18,29 26,22,19,20,18,29,28,21 ?2 1 2 3 4 5 结果（前八位） 26,22,9,5,19,8,7,18 26,22,19,9,5,8,7,18 26,22,19,5,9,8,7,29 26,22,19,5,9,29,8,4 26,22,19,29,5,9,2,4