(1??Pi?qi)?tii?4k因为单注第i等奖期望：Zi = 由以上两式得：
Pi （１<= i <=3 ）
t1t2t3???PPP312q4(1??Pi?qi)i?4k
(2) 各项奖金的期望值的级差在一定的范围内。
即满足：Ｍax[Zi/ Zi＋１]<=c ( c为一常数)
(3) 一等奖单注奖金的期望应该在60万元到500万元之间。
60? 即满足：
(1??Pi?qi)?t1i?4kP1?500
（二）问题一模型的建立和求解：
１、通过以上建模前准备中对方案评价影响因素的分析，为了对各方案的合理性进行评价，可以建立关于P、Z值的双目标优化模型如下：
k??max P??Pii?1??k?(1??Pi?qi)?t1?i?4?max Z?P??1
k?(1??Pi?qi)?t1?i?4?60??500P?1?q4?t1t2t3????kPPP23?1(1??Pi?qi)?i?4?3??ti?1?约束条件为： s.t. ?i?1
该双目标规划模型表示中奖面越广，一等奖单注奖金的期望值越高，该方案也就越合理。
２、求解模型：
变量说明：
①P：29种方案中奖面的平均值。 ?②P：P与P的比值。 *
?③Z：29种方案一等奖单注奖金的平均期望值。 ④Z：Z与Z的比值。 *
??１：彩民对中奖面的偏好系数。 ⑤?２：彩民对一等奖的偏好系数。 ⑥?⑦W ：方案合理性的衡量指标。 1）对P、Z进行规一化处理：
我们分别求出这29种方案的P、Z值（见附表五），从表中可以发现它们的差异很大，分别处于不同的数量级。所以不能直接引入非负加权因子，将此双目标规划模型转化为单目标规划模型进行考虑。因此，我们考虑对P、Z进行规范化处理，将它们统一到相同的数量级范围。
进行规范化处理的具体步骤如下（我们以对P的处理为例进行说明）：
①
将这29种方案的P值进行加权求和，再算出它们的平均值。即求得
P?1P?29。
P求出每一种方案的P值与P的比值P*，即求得P*=P。
所求出的P*即为经过规一化处理后的P值。按照相同的方法对一等奖单注奖
②
金的期望值Z进行规一化处理，求得
*
*
Z*?ZZ，经过处理后的P*、Z*即处于相同的
数量级范围。（求出的P、Z见附表六）。
2）引入两个非负加权因子?1，?2，将此双目标规划模型转化为单目标规划模型，即：
**max W =?P??Z12
k?(1??Pi?qi)?t1?i?4?60??500P?1?q4?t1t2t3????kPPP23?1(1??Pi?qi)?i?4?3??ti?1?约束条件为 s.t. ?i?1
非负因子?1，?2为多目标的权重系数，分别代表彩民对中奖面和一等奖单注奖金的期望值的偏好程度。该单目标规划模型表示在?1，?2一定的情况下，方案合理性的衡量指标W的值越大，则该方案在该情况下也就越合理。我们取三组权重系数，分别为：
?２＝0.5 ；?２＝0.8 ；?２＝0.2 ；１＝0.5 ，１＝0.2 ，１＝0.8 ，(1) ?(2) ?(3) ?
根据权重系数的不同，可以分别求出29种方案在该权重系数下的目标函数值（见附表七）。 ３、求解结果：
１＝0.2 ，?２＝0.8时：1) 权重系数为?（29种方案在该权重系数下的目标函数值如
下表A）：
目标函序号 数值 1 2 3 4 5 6 7 8 0.3966 0.5854 0.6111 0.6369 0.4346 0.4459 0.4982 0.5706 9 10 11 12 13 14 15 16 序号 数值 0.6256 0.417 0.5518 0.4502 0.4826 0.515 0.4856 0.5852 17 18 19 20 21 22 23 24 目标函序号 数值 0.4884 0.5745 0.5287 0.5124 0.4956 0.6321 0.8838 0.5016 25 26 27 28 29 目标函序号 数值 0.5038 0.5644 0.4383 0.6538 0.4448 目标函１＝0.2 ，?２＝0.8时各方案的目标函数值） （表A：?该类型彩民为“激进型”彩民，根据表A中各目标函数值的分布，我们可以得到适合于该类型彩民的较为合理的方案，依次为（同类型的只提供一种选择，此处只提供前五种）：23，28，4，9，16，18。
１＝0.8 ，?２＝0.2时： 2) 权重系数为?该类型彩民为“保值型”彩民。按照类似于1)的分析方法对目标函数值进行分析，得到适合于该类型彩民的较为合理的方案，依次为（同类型的只提供一种选择，此处只提供前五种）： 4，23，9，10，16。
１＝0.5 ，?２＝0.5时： 3) 权重系数为?该类型彩民为界于“激进型”和“保值型”之间的彩民。按照类似于1)的分析方法对目标函数值进行分析，得到适合于该类型彩民的较为合理的方案，依次为（同类型的只提供一种选择，此处只提供前五种）：23，26，4，25，9 。 （三）“更好”的方案的设计及相应的算法：
根据以上对彩票问题的研究，结合实际情况，我们设计了分别适合于“保值型”和“激进型”彩民的更为合理的方案。 1、面向“保值型”彩民：
“保值型”彩民即为低风险型彩民，因此对于面向“保值型”彩民的方案，应当考虑降低一等奖中奖难度，使每期均有一等奖中出，从而形成中奖效应，提高对彩民的吸引力并调动彩民的积极性。
随着大奖中奖概率的提高，单注奖金会因此而减少。考虑彩民心理承受能力和奖金设置对彩民的吸引力，单注一等奖的单注奖金最好不要低于1万元，一等奖的中奖概率宜取0.00001~0.00002。为保证彩民的利益和方案的可行性，可以考虑采用“封顶”和“保底”并且将奖金大部分集中到头奖的方案。 面对“保值型”彩民的方案和算法： 方案选择：22选5
中奖规则：选5中5为一等奖；选5中4为二等奖；其他奖项依次类推。（无特别
号且不考虑号码顺序）。
销售方案：总奖金占销售总额的50%，单注金额不变，单注若已得到高级别奖就不
再兼得低级别奖。低项奖金固定，高项奖金浮动，一等奖单注保底一万，封顶金额500万。
奖金设置：只设置一、二等奖。二等奖固定奖金50元，其余归一等奖。 方案的可行性分析：
1、 一等奖中奖概率为1/65780，即0.000015，为30选7的30多倍，36选7的125
倍。特别适合于低风险倾向的“保值型”彩民。 2、 中奖面为1.6%，相对来说可以让大部分彩民接受的。
3、 单注一等奖奖金保底10000，封顶金额5000000，使得彩民心理能接受并保证发
行部门的利益。
4、 一般每期均有中一等奖的情况，这容易形成中奖效应，从而提高彩票发行量 5、 可推广应用于人口基数较小或经济较不发达地区。
6、 由于没有调节基金，可能使某期总奖金超过销售总额的50%。 7、 可根据一等奖中奖概率的高低选择底数的大小
２、面向“激进型”彩民：
当方案设计面向高风险倾向彩民或者当预期总投注额很大时，例如某地区存在相当数量的高风险倾向彩民或者准备在全国范围内统一销售的情况，这时要求单注头奖奖金足够大。针对这种背景，根据预计总投注数的具体情况，我们提出了改进性超级乐透彩方案：
方案规则的设定：采用m选n+1的模式；并改采用“双彩池摇奖”的方式。具体规则为：n个正选号码从总球数为m个的彩池中一个一个摇出基本号，再从另一个总球数为m个的彩池中摇出一个特别号码。根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑基本号码的顺序。根据预计总投注数N的大小，确定m的大小（n一般取5－７）。设置奖项为：n个基本号码和一个特别号码全部相符时为一等奖。现在拟取m为５２，n为５；.易得此时中一等奖的概率为１/１３５１４５９２０；中奖者奖成为“亿元”富翁。中一等奖期望人数＝中一等奖的概率*投注总数。故对１３亿人口的我国国情，在市场比较成熟的条件下，可在全国推行该方案。 2、 给彩票管理部门的建议：
（1）对人口基数较小或经济较不发达地区采取“22选5”方案，对高风险倾向彩民数量较多的地区或全国范围内统一销售的情况采取高难度的方案。 （2）考虑到在实际中可能会出现一等奖多期未中的情况及对于为补足60万单注保底奖金的那部分差款的处理。我们对彩票管理部门提出以下建议：
①设“积宝池”的方法，即当期一等奖未中，或者单注一等奖封顶后超出的部分，或者前期弃奖奖金自动滚入下期一等奖。并考虑从每期50%返回奖金中拿出1%来当调节基金，这样就可以很好的解决差款的问题。
②对于一二三等奖及固定奖之间单注奖比例可能出现的处理。可以通过修改规则，使用调节基金来解决。例如当期高等奖单注奖额在未达到封顶额但低于其下一等奖金额时，应保证高等奖的实际金额高于其下一等奖单注奖金的一倍，资金来源由调节基金来调节。或者采用增设附加号（特别号）来调节奖级间的比例。
③当一等奖中奖概率过低时，可能出现多期一等奖未中，而奖池里驻留奖金过多的情况，在不改变方案的前提下，这时彩票管理部门可考虑采用“二次开奖”和“附加奖”的办法。若这种现象长期出现，则应考虑修改方案，提高一等奖中奖概率，从而形成发行者和彩民的双赢局面。
④每一种方案根据其中奖率和中奖面的不同而有适应其的特定顾客群。一般根据中头奖概率的高低将方案分为高、中、低难度。偏好高回报的彩民一般会选用难度较高的方案。故发行新形式的彩票时，应考虑当地彩民的偏好。