１＝0.8 ，?２＝0.2 (3) ?序号 1 2 3 4 5 6 7 8 W 0.1908 2.2268 2.2384 2.2501 0.4137 0.8648 1.5611 1.5744 序号 9 10 11 12 13 14 15 16 W 1.5846 1.3842 0.3791 0.3457 0.3555 0.3654 0.3639 1.2119 序号 17 18 19 20 21 22 23 24 W 0.4042 1.1688 0.4242 1.0639 1.0451 1.1038 2.116 1.0702 序号 25 26 27 28 29 W 0.7783 1.1173 0.5559 0.4117 0.3723 全国二等奖
彩票方案综合评价模型
电子科技大学
指导老师：覃思义
参赛队员：黄智林 方亮曾文虹
日期：2002.9.23
彩票方案综合评价模型
摘要：
本文针对彩票方案的合理性评价问题，建立了两个模型。
对彩票方案合理性的综合评价，关键在于找到评价指标。本文主要从彩民的利益出发，考虑大奖的金额，总中奖面，大奖的平均中奖人数等几个彩民最关心的因素，建立了7个评价指标。根据这些指标，分别用线性评价函数法和神经元评分法建立了两个模型对彩票方案的合理性进行综合评价，并找出了几种较好的彩票发行方案为：第5，7，8，9，19，22 ，26种方案。在此基础上，通过改进其中的两种相对最好的两种方案，找到了更好的方案。
最后，根据计算结果对彩票管理部门提出建立，并写了一篇短文，以供彩民参考。
彩票方案综合评价模型
一．
问题的提出
近几年来，中华大地掀起了一股“彩票飓风”，巨额使越来越多的人加入到了“彩民”的行列。目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。它们各自采取不同形式的抽奖方案。
（1）、现给出常见的销售规则及相应的奖金设置方案，请根据这些方案的具体情况，评价各方案的合理性。
（2）、设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票部门提出建议。 （3）、根据你的结论给报纸写一篇短文，以供彩民参考。 二．
问题的分析
对彩票方案的评价关键在于找出合理评价指标，从彩民的角度看，重要的因素有：大奖的金额，总中奖面，中奖机率，以及奖项的设置是否合理等。综合考虑以上因素，建立合适的指标，构造出评价函数，对29种方案进行分析和评价。 三．
基本假设
1. 当期销售的每注彩票号码是相互独立产生的。 2. 对于中了高项奖的彩票不再兼得低项奖的奖金。 3. 一等奖的单注奖金保底60万元，封顶500万元。
4. 每次抽奖都是严格按照规则，公正的抽取中奖号码，且每种号码被抽中的机会
相同。
四．
符号说明
Q 当期彩票的销售总额 N 当期彩票的销售注数
nij 第j种方案中获得第i等奖的注数 （j=1,2,? ,29 i=1,2,? ,7） qij 第j种方案中第i等奖的奖金 pij 第j种方案中第i等奖的中奖几率
?ij 第j种方案中第i等奖的奖金比例
五．
问题（1）模型的建立及求解
对于问题（1）我们分别建立线性评价函数模型和神经元评分模型 模型一：线性评价函数法
在评价一个彩票方案的合理性前，先要判断该方案的奖项和奖金额的设置是否合理。一个合理的方案必须要满足以下3个约束条件: (1) 高项奖的单注奖金比低项奖的单注奖金高 (2) 各项奖金的级差必须在适当的范围内。 (3) 一等奖单注奖金必须在60万元到500万元之间
下面用这三个约束条件对29种方案进行初选，去掉那些不合理的方案。 用约束条件(1) 筛选的结果是：全部方案都合理
用约束条件(2) 筛选的结果是：第1，6，23，24，25种方案不合理。 用约束条件(3) 筛选的结果是：第27种方案不合理。
经过初选后，将不合理的方案都去掉，还剩23种方案。筛选的具体过程见附件一。 为了公正的评价29种方案的合理性，假设29种方案的销售额都是2000万元，则每种方案售出的彩票注数为1000万注。假设每注彩票号码是在相同的条件下相互独立产生的。那么1000万注彩票的号码相当于是对一注彩票进行了1000万重贝努里试验的结果。若第j种方案的第i等奖的中奖几率为pij，则第j种方案的第i等奖的中奖注数nij=k的概率是：
kkPN(nij?k)?CNpij?(1?pij)N?k （N=1×107 ） ①
因此nij服从二项分布，即nij ~B(N,pij)。
衡量一个方案的合理性，就是衡量该方案对彩民的吸引力。而彩票方案对彩民的吸引力主要与高项奖和低项奖的设置有关。
1）设置高额巨奖的目的是激发人们的博彩心理，刺激他们去购买彩票。因此高项奖的奖金额必须高才能对彩民有吸引力。
2）设置中、低等奖的目的主要是满足多数人的心理需求。人们的中奖心理具有递进性，中了中、低等奖之后，往往会唤起拿到高等奖的信心与渴望。因此中奖面不能太窄，否则会使彩民受挫，打击了彩民够买彩票的信心。
通过以上的分析，我们建立7个指标来衡量一个方案的合理性：
i）一，二，三等奖的单注奖金额 ii）每注彩票的总中奖率
iii）一，二，三等奖的期望中奖注数 下面分别计算各项指标
1．对一，二，三等奖的单注奖金额q1j， q2 j， q3 j的计算.
利用公式：[（当期销售总额?总奖金比例）－低项奖金总额] ?单项奖比例，可以计算出各等奖的奖金总额Ｃij，再计算出各等奖中奖注数的期望E(nij)（j=1,2,? ,29 i=1,2,3 ）。则一，二，三等奖的单注奖金额q1j， q2 j， q3 j为：
qkj?
CijE(nij) (k=1，2，3 ； j=1,2,? ? ?,29 ； i=1,2,3)
由于nij~B(N,pij)，则E(nij)?N?pij
综上所述，一，二，三等奖的单注奖金额的计算公式为：
qkj?2?N?50%??qij?N?piji?47N?pkj??kj ②
(k=1，2，3 ； j=1, 2 ,? ? ?, 29 ； i=1, 2 ,3)
上式是除第23种方案以外的28种方案计算通式，对于第23种方案只需计算出一等奖的单注奖金额（计算时对没设置的奖项，认为它的单注奖金额为０）。 2．对每注彩票的总中奖率的计算
由于中了高项奖的彩票不再兼得低项奖的奖金，则方案j每注彩票的总中奖率就是其各个奖项的中奖概率的叠加，即是
Pj??piji?17 （j=1, 2,? ? ?, 29 ； i=1, 2,? ? ?, 7）
计算时对没设置的奖项，认为它的中奖概率为０。 3．对一，二，三等奖的期望中奖注数计算
由于n１j服从二项分布，因此可以根据二项分布的性质得到方案j一，二，三等奖的期望中奖注数为：
E(n1j)?N?p1j； E(n2j)?N?p2j
E(n3j)?N?p3j （j=1, 2 ,? ? ?, 29）
经过以上的处理，虽然得到了每种方案的相应指标，但它们的数量级是不同，为了使它们之间具有可比性,我们把各种指标的值都映射到 [0，1] 区间上。由此，我们可以建立一个评价彩票方案合理性的评价函数D，对于第j种方案，它的评价函数Dj为：
Dj???i?wiji?18
上式中wij（i=1,2,? ,8）的含义如下：
w1j，w2j，w3j，分别是第j种方案一，二，三等奖的单注奖金额映射到区间[0，1]上的值。 w4j是第j种方案当期彩票的总中奖注数映射到区间[0，1]上的值。
w5j，w6j，w7j，是第j种方案一，二，三，等奖中奖注数的期望映射到区间[0，1]上的值。
?i（i=1,2,?，7）是相应的权重系数。Dj值的大小反映了彩票方案合理性的高低，Dj
值越大，表明该方案越合理。
我们采用线性映射，对各个指标作如下的处理：
w1j?q1j5?10 ，
76w2j?w5j?q2j5?10 ， E(n1j)10 ，
5w3j?q3j5?104 E(n2j)100，
w7j?E(n3j)1000
w4j??piji?1 ，
w6j?（j=1,2,? ? ?,29 ； i=1,2,? ? ?,7）
当权重系数?i（i=1,2,?，7）的取值为：
?1?6,?2?3,?3?1,?4?40,?5?4,?6?3,?7?2时
得到各种方案评价函数Ｄj值的情况如下表所示： 表 一
排列序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 方案序号 26 22 19 5 9 8 7 29 18 20 4 28 2 3 21 17 16 11 Ｄj值 8.4316 7.9934 7.6199 7.3061 7.2898 7.1200 6.9296 6.8541 6.8331 6.7669 6.7582 6.7283 6.6490 6.6007 6.5008 6.4493 6.3610 6.0510