26.（2009山东卷理)等比数列{an}的前n项和为Sn， 已知对任意的n?N ，点
?(n,Sn)，均在函数y?bx?r(b?0且b?1,b,r均为常数)的图像上.
（1）求r的值；
（11）当b=2时，记 bn?2(log2an?1)(n?N?) 证明：对任意的n?N ，不等式
?b?1b1?1b2?1·······n?n?1成立 b1b2bnx解:因为对任意的n?N,点(n,Sn)，均在函数y?b?r(b?0且b?1,b,r均为常数的图像上.所以得Sn?bn?r,当n?1时,a1?S1?b?r,当n?2时,an?Sn?Sn?1?bn?r?(bn?1?r)?bn?bn?1?(b?1)bn?1,又因为{an}为等比数列,所以r??1,公比为b,an?(b?1)bn?1
（2）当b=2时，an?(b?1)bn?1?2n?1, bn?2(log2an?1)?2(log22n?1?1)?2n 则
?bn?12n?1b?1357b?1b2?1?·······n???,所以1b1b2bn246bn2n2n?1 2n2n?1?n?1成立. 2n下面用数学归纳法证明不等式
b?1357b1?1b2?1·······n???b1b2bn246① 当n?1时,左边=
33,右边=2,因为?2,所以不等式成立. 22② 假设当n?k时不等式成立,即
b?1357b1?1b2?1·······k???b1b2bk2462k?1?k?1成2k?2k?12k?3 ?2k2k?2立.则当n?k?1时,左边=
b?1bk?1?1357b1?1b2?1·······k????b1b2bkbk?12462k?3(2k?3)24(k?1)2?4(k?1)?11?k?1????(k?1)?1??(k?1)?1 2k?24(k?1)4(k?1)4(k?1)所以当n?k?1时,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立.
【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知Sn求an的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式. 27.（2009广东卷理）知曲线Cn:x2?2nx?y2?0(n?1,2,线Cn引斜率为kn(kn?0)的切线ln，切点为Pn(xn,yn)． （1）求数列{xn}与{yn}的通项公式； （2）证明：x1?x3?x5?)．从点P(?1,0)向曲
?x2n?1?1?xnx?2sinn. 1?xnyn22解：（1）设直线ln：y?kn(x?1)，联立x?2nx?y?0得
222222(1?kn)x2?(2kn?2n)x?kn?0，则??(2kn?2n)2?4(1?kn)kn?0，∴
kn?n2n?1（?n2n?1舍去）
2knnn2n?1n2x?，即，∴ y?k(x?1)?x??nnnn22n?1n?11?kn(n?1)2nn1?xnn?1??（2）证明：∵
n1?xn1?n?11?1 2n?1x1?x3?x5?????x2n?1?132n?1132n?11 ??????????????242n352n?12n?1∴x1?x3?x5?????x2n?1?1?xn
1?xn由于
xn?yn1?xn1，可令函数f(x)?x?2sinx，则f'(x)?1?2c?osx，
2n?11?xn令f'(x)?0，得cosx???2，给定区间(0,)，则有f'(x)?0，则函数f(x)在(0,)442上单调递减，∴f(x)?f(0)?0，即x??2sinx在(0,)恒成立，又
40?11???，
2n?134则有
1?xnx11，即?2sin?2sinn.
2n?12n?11?xnyn12(an?3),n?N?. 428.（2009安徽卷理）首项为正数的数列?an?满足an?1?（I）证明：若a1为奇数，则对一切n?2,an都是奇数； （II）若对一切n?N?都有an?1?an，求a1的取值范围.
解：本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分13分。
解：（I）已知a1是奇数，假设ak?2m?1是奇数，其中m为正整数，
ak2?3?m(m?1)?1是奇数。 则由递推关系得ak?1?4根据数学归纳法，对任何n?N?，an都是奇数。 （II）（方法一）由an?1?an?1(an?1)(an?3)知，an?1?an当且仅当an?1或an?3。 41?332?3?1；若ak?3，则ak?1??3. 另一方面，若0?ak?1,则0?ak?1?44根据数学归纳法，0?a1?1,?0?an?1,?n?N?;a1?3?an?3,?n?N?. 综合所述，对一切n?N?都有an?1?an的充要条件是0?a1?1或a1?3。
a12?3?a1,得a12?4a1?3?0,于是0?a1?1或a1?3。 （方法二）由a2?4an2?3an?12?3(an?an?1)(an?an?1)an?1?an???,
444an2?3,所以所有的an均大于0，因此an?1?an与an?an?1同号。 因为a1?0,an?1?4根据数学归纳法，?n?N?，an?1?an与a2?a1同号。
因此，对一切n?N?都有an?1?an的充要条件是0?a1?1或a1?3。
29.（2009江西卷理）各项均为正数的数列{an}，a1?a,a2?b，且对满足m?n?p?q的正整数m,n,p,q都有
ap?aqam?an?.
(1?am)(1?an)(1?ap)(1?aq)（1）当a?14,b?时，求通项an; 251（2）证明：对任意a，存在与a有关的常数?，使得对于每个正整数n，都有
??an??.
解：（1）由
ap?aqam?an得 ?(1?am)(1?an)(1?ap)(1?aq)14a1?ana2?an?1?.将a1?,a2?代入化简得
25(1?a1)(1?an)(1?a2)(1?an?1) an?2an?1?1.
an?1?2所以
1?an11?an?1??, 1?an31?an?11?an}为等比数列，从而 1?an故数列{1?an13n?1?,即an?n.
3?11?an3n3n?1可验证，an?n满足题设条件.
3?1(2) 由题设
am?an的值仅与m?n有关,记为bm?n,则
(1?am)(1?an)bn?1?a1?ana?an?.
(1?a1)(1?an)(1?a)(1?an)a?x(x?0),则在定义域上有
(1?a)(1?x)考察函数 f(x)??1a?1?1?a,??1f(x)?g(a)??,a?1
2??a?1?a,0?a?1?故对n?N， bn?1?g(a)恒成立. 又 b2n?*2an?g(a), 2(1?an)1,解上式得 2注意到0?g(a)?1?g(a)?1?2g(a)1?g(a)?1?2g(a)g(a)??an?,
g(a)g(a)1?g(a)?1?2g(a)取??1?g(a)?1?2g(a)1,即有 ?an??..
?g(a)12n?130. (2009湖北卷理)已知数列?an?的前n项和Sn??an?()?2（n为正整数）。
（Ⅰ）令bn?2nan，求证数列?bn?是等差数列，并求数列?an?的通项公式；
n?15nan，Tn?c1?c2?........?cn试比较Tn与的大小，并予以证明。 n2n?11n?11解（I）在Sn??an?()?2中，令n=1，可得S1??an?1?2?a1，即a1?
221n?21?an?Sn?Sn?1??an?an?1?()n?1， 当n?2时，Sn?1??an?1?()?2，221?2an?an?1?()n?1,即2nan?2n?1an?1?1.
2(Ⅱ）令cn?
bn?2nan,?bn?bn?1?1,即当n?2时，bn?bn?1?1.
又b1?2a1?1,?数列bn?是首项和公差均为1的等差数列.
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