于是bn?1?(n?1)?1?n?2an,?an?(II)由（I）得cn?nn. 2nn?11an?(n?1)()n，所以 n21111Tn?2??3?()2?4?()3?K?(n?1)()n
222211111Tn?2?()2?3?()3?4?()4?K?(n?1)()n?1 22222112131n1n?1由①-②得Tn?1?()?()?K?()?(n?1)()
2222211[1?()n?1]13n?32?1?4?(n?1)()n?1??n?112221? 2n?3?Tn?3?n25nn?35n(n?3)(2n?2n?1) Tn??3?n??n2n?122n?12(2n?1)于是确定Tn与5nn的大小关系等价于比较2与2n?1的大小 2n?1由2?2?1?1;22?2?2?1;23?2?3?1;24?2?4?1;25?2?5;K
2?2n?1.证明如下： 可猜想当n?3时，证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。 （2）假设n?k?1时
n2k?1?2g2k?2(2k?1)?4k?2?2(k?1)?1?(2k?1)?2(k?1)?1
所以当n?k?1时猜想也成立
综合（1）（2）可知 ，对一切n?3的正整数，都有2?2n?1. 证法2：当n?3时
012n?1n01n?1n2n?(1?1)n?Cn?Cn?Cn?K?Cn?Cn?Cn?Cn?Cn?Cn?2n?2?2n?1
n综上所述，当n?1,2时Tn?5n5n，当n?3时Tn? 2n?12n?131.（2009四川卷文）设数列?an?的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an?5Sn?1成立，记bn?4?an(n?N*)。 1?an（I）求数列?an?与数列?bn?的通项公式；
（II）设数列?bn?的前n项和为Rn，是否存在正整数k，使得Rn?4k成立？若存在，找出一个正整数k；若不存在，请说明理由；
*（III）记cn?b2n?b2n?1(n?N)，设数列?cn?的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn?3； 2解（I）当n?1时，a1?5S1?1,?a1??又
1 4an?5Sn?1,an?1?5Sn?1?1
an?11?? an4?an?1?an?5an?1,即11，公比为q??的等比数列， 441n4?(?)1n4(n?N*) …………………………………3分 ∴an?(?)，bn?141?(?)n4∴数列?an?是首项为a1??（II）不存在正整数k，使得Rn?4k成立。
14?(?)n54?4?证明：由（I）知bn? n1n(?4)?11?(?)4552015?16k?40b2k?1?b2k?8???8?k?k?8?k?8. 2k?12kk(?4)?1(?4)?116?116?4(16?1)(16?4)5∴当n为偶数时，设n?2m(m?N) ∴Rn?(b1?b2)?(b3?b4)???(b2m?1?b2m)?8m?4n
?当n为奇数时，设n?2m?1(m?N) ∴Rn?(b1?b2)?(b3?b4)??(b2m?3?b2m?2)?b2m?1?8(m?1)?4?8m?4?4n
∴对于一切的正整数n，都有Rn?4k
∴不存在正整数k，使得Rn?4k成立。 …………………………………8分
（III）由bn?4?5得 n(?4)?15515?16n15?16n15?16n15cn?b2n?1?b2n?2n?2n?1????nnnn2nn24?14?1(16?1)(16?4)(16)?3?16?4(16)16134,?c2?， 333当n?1时，T1?，
2又b1?3,b2?当n?2时，
Tn?411?25?(2?3?3161611n?2[1?()]2141616?n)??25?11631?16
12469316??25???148231?16*32.（2009湖南卷文）对于数列{un},若存在常数M＞0,对任意的n?N，恒有
un?1?un?un?un?1??u2?u1?M, 则称数列{un}为B?数列.
1的等比数列是否为B-数列？请说明理由; 2（Ⅰ）首项为1，公比为?（Ⅱ）设Sn是数列{xn}的前n项和.给出下列两组判断： A组：①数列{xn}是B-数列, ②数列{xn}不是B-数列; B组：③数列{Sn}是B-数列, ④数列{Sn}不是B-数列.
请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题. 判断所给命题的真假，并证明你的结论；
2(Ⅲ)若数列{an}是B-数列，证明：数列{an}也是B-数列。
解: （Ⅰ）设满足题设的等比数列为{an},则an?(?)12n?1.于是
1131an?an?1?(?)n?1?(?)n?2??()n?2,n?2.
2222|an?1?an|?|an?an?1|??|a2?a1|
=
3?112??1??（）?2?221n-1?1n??=?（）3?1?（）??3. ??22???1的等比数列是B-数列 . 2所以首项为1，公比为?（Ⅱ）命题1：若数列{xn}是B-数列，则数列{Sn}是B-数列.此命题为假命题. 事实上设xn=1，n?N，易知数列{xn}是B-数列，但Sn=n， |Sn?1?Sn|?|Sn?Sn?1|?*?|S2?S1|?n.
由n的任意性知，数列{Sn}不是B-数列。
命题2：若数列{Sn}是B-数列，则数列{xn}不是B-数列。此命题为真命题。 事实上，因为数列{Sn}是B-数列，所以存在正数M，对任意的n?N，有 |Sn?1?Sn|?|Sn?Sn?1|? 即|xn?1|?|xn|?*?|S2?S1|?M,
?|x2|?M.于是xn?1?xn?xn?xn?1??x2?x1
?xn?1?2xn?2xn?1?所以数列{xn}是B-数列。
?2x2?x1?2M?x1,
（注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法） (Ⅲ)若数列?an?是B-数列，则存在正数M，对任意的n?N?,有 an?1?an?an?an?1??a2?a1?M.
?a2?a1?a1
因为an?an?an?1?an?1?an?2? ?an?an?1?an?1?an?2??a2?a1?a1?M?a1.
22记K?M?a1，则有an?1?an?(an?1?an)(an?1?an)
?(an?1?an)an?1?an?2Kan?1?an.
222222因此an?1?an?an?an?1?...?a2?a1?2KM. 2故数列an是B-数列.
??33. (2009陕西卷理) 已知数列?xn}满足， x1＝11xn＋1＝,n?N*. 2’1?xn???猜想数列{xn}的单调性，并证明你的结论；
（Ⅱ)证明：|xn?1-xn|≤()证明（1）由x1?1265n?1。
112513 及xn+1?得x2??x4?，x4?21?xn3821由x2?x4?x6猜想：数列?x2n?是递减数列 下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，已证命题成立 （2）假设当n=k时命题成立，即x2k?x2k?2 易知x2k?0，那么x2k?2?x2k?4?x2k?3?x2k?111 ??1?x2k?11?x2k?3(1?x2k?1)(1?x2k?3)=
x2k?x2k?2?0
(1?x2k)(1?x2k?1)(1?x2k?2)(1?x2k?3)即x2(k?1)?x2(k?1)?2
也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立 （2）当n=1时，xn?1?xn?x2?x1?1，结论成立 6当n?2时，易知0?xn?1?1,?1?xn?1?2,xn?11?
1?xn?12?(1?xn)(1?xn?1)?(1?15)(1?xn?1)?2?xn?1?
1?xn?12xn?xn?111 ?xn?1?xn???1?xn1?xn?1(1?xn)(1?xn?1)222xn?xn?1?（）xn?1?xn?2?55
12n-1?（）65?2n-1?（）x2?x15
34.（2009四川卷文）设数列?an?的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an?5Sn?1