2007年高考试题汇编----圆锥曲线
22b2?x022由OQ1?OQ2知x1x2?y1y2?0，即x??0， 解得x0?b2．
2320这时，点D的坐标仍满足x02222?y0?b2． 综上，点D的轨迹方程为 x2?y2?b2．
33y0x?x0y?0，由OD?Q1Q2，垂足为
解法二：设点D的坐标为(x0，y0)，直线OD的方程为
22． ?y0D，可知直线Q1Q2的方程为x0x?y0y?x022m?x0?y0记（显然
m?0），点
Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)的坐标满足方程组
??x0x?y0y?m， ① ?222x?2y?2b． ②??由①式得将
③
y0y?m?x0x．
式
2y0③ 由②式得式
得
2y0222222y0x?2y0y?2y0b．
④ y
代入④
x?22m 02，
(?m?b0x)2?x20．0yb整
理得
2(x02?)x?24m0?x2x2?22m2?2b2y0于是x1x2?222x0?y0． ⑤
由①式得x0x将
⑥
式
?m?y0y．
代
入
⑦
⑥ 由②式得x0x式
得
222222?2x0y?2x0b．
20 ⑦ x
(m?y?20y2)y?2x2?y02，
b整
理得
(x2?20y20)y?22m0?y2m2?2b2x0?2m ?by10y2x，于是0222x0?y0． ⑧
222m2?2b2y0m2?2b2x0??0， 由OQ1?OQ2知x1x2?y1y2?0．将⑤式和⑧式代入得22222x0?y02x0?y02222223m2?2b2(x0?y0)?0． 将m?x0?y0代入上式，得x0?y0?22b． 3所以，点D的轨迹方程为x22?y2?b2．
3四川文（21）解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力．
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2007年高考试题汇编----圆锥曲线 （Ⅰ）易知a?2，b?1，c?3．
3,0)，F2(3,0)．设P(x,y)(x?0,y?0)．则
∴F1(??????????x2522PF1?PF2?(?3?x,?y)(3?x,?y)?x?y?3??，又?y2?1，
447?222?x?1x?y??x?1?3???4?联立?，解得?，P(1,)． ?33222?y??y??x?y2?1?4?2??4（Ⅱ）显然x?0不满足题设条件．可设l的方程为y?kx?2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)．
?x22??y?1联立?4?x2?4(kx?2)2?4?(1?4k2)x2?16kx?12?0
?y?kx?2?∴x1x2由
?121?4k2，x1?x2??16k1?4k2
??(16k)2?4?(1?4k2)?12?0
16k2?3(1?4k2)?0，
4k2?3?0，得
k2?3．① 4????????????????又?AOB为锐角?cos?AOB?0?OA?OB?0， ∴OA?OB?x1x2?y1y2?0
又
y1y2?(kx1?2)(kx2?2)?k2x1x2?2k(x1?x2)?4
∴x1x2?y1y2?(1?k2)x1x2?2k(x1?x2)?4
?(1?k2)?1216k?2k?(?)?4 221?4k1?4k12(1?k2)2k?16k4(4?k2)???4??0 2221?4k1?4k1?4k∴?1?k2?4．② 4333)?(,2)． ?k2?4，∴k的取值范围是(?2,?224第 32 页 共 51 页
综①②可知
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四川理（20）本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。 解：（Ⅰ）解法一：易知a?2,b?1,c?3所以F1?3,0,F2???23,0?，设P?x,y?，则
x213?x,?y?x?y?3?x?1??3??3x2?8?
44?????????因为x???2,2?，故当x?0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1?PF2有最小值?2
?????????PF1?PF2??3?x,?y,????22?????????当x??2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1?PF2有最大值1
解法二：易知a?2,b?1,c?3，所以F1?3,0,F2???3,0?，设P?x,y?，则
????2?????2?????2???????????????????????????PF1?PF2?F1F2PF1?PF2?PF1?PF2?cos?F1PF2?PF1?PF2??????????2PF1?PF2221?2?x?3?y?x?3?y2?12??x2?y2?3（以下同解法一）
???2?????（Ⅱ）显然直线x?0不满足题设条件，可设直线l:y?kx?2,A?x1,y2?,B?x2,y2?，
?y?kx?2??21?2联立?x2，消去y，整理得：?k??x?4kx?3?0
24????y?1?4∴x1?x2??4k1k2?4,x1?x2?31k2?4
由?331?2?或k????4k??4?k???3?4k2?3?0得：k?224??0
????????又0??A0B?90?cos?A0B?0?OA?OB?0
0????????∴OA?OB?x1x2?y1y2?0
?8k2?k2?1??4?又y1y2??kx1?2??kx2?2??kx1x2?2k?x1?x2??4? 111222k?k?k?44423k2第 33 页 共 51 页
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?k2?133∵或??0，即k2?4 ∴?2?k?2 故由①、②得?2?k???k?2
1122k2?k2?443上海理21．[解]（1）∵F0（c，0）F1（0，?∴| F0F1 |＝于是c222b2?c2），F2（0，b?c）
(b2?c2)?c2?b?1，| F1F2 |＝2b2?c2?1
37222，a?b?c?，所求“果圆”方程为 4442422，y?x?1（x≤0）． x?y2?1（x≥0）
73???4分
（2）由题意，得a＋c＞2b，即
a2?b2?2b?a．
b4? a5??7分
∵（2b）2＞b2＋c2，∴a2－b2＞（2b－a）2，得
b21b24又b＞c＝a－b，∴2?． ∴?(,)．
a25a22
2
2
2
x2y2y2x2（3）设“果圆”的方程为2?2?1（x≥0）2?2?1（x≤0） 记平行弦的斜率为k．
abbax2y2当k＝0时，直线y＝t（－b≤t≤b）与半椭圆2?2?1（x≥0）的交点是
abt2t2y2x2p(a1?2,t)，与半椭圆2?2?1（x≤0）的交点是Q（?c1?2,t）．
bbba?a?ct2?x?1?2∴P、Q的中点M（x，y）满足?2b?y?t?x2y2 得??1．
a?c2b2()2a?c2a?c?2ba?c?2b∵a＜2b，∴()?b2???0．
222综上所述，当k＝0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆??14分
当k＞0时，以k为斜率过B1的直线l与半椭圆
x2y2??1（x≥0）的交点是a2b2第 34 页 共 51 页
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2ka2bk2a2b?b3(22,) ka?b2k2a2?b2b2由此，在直线l右测，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线y?2x上，即不在某一椭圆上．
k当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上． 上海文21．解：（1）? F0(c，0)，F10，?b2?c2，F20，b2?c2，
??18分
?????F0F2??b237?c2??c2?b?1，F1F2?2b2?c2?1，于是c2?，a2?b2?c2?，
44424x?y2?1(x≥0)，y2?x2?1(x≤0)． 732所求“果圆”方程为
（2）设P(x，y)，则
a?c???b222 |PM|??x???y ??1?2c2????2(a?c)2?b2，?c≤x≤0， ?x?(a?c)x?4?b22 ?1?2?0，? |PM|的最小值只能在x?0或x??c处取到．
c 即当
PM取得最小值时，P在点B1，B2或A1处．
x2y2 （3）?|A1M|?|MA2|，且B1和B2同时位于“果圆”的半椭圆2?2?1(x≥0)和半椭圆
aby2x2x2y2??1(x≤0)上，所以，由（2）知，只需研究P位于“果圆”的半椭圆2?2?1(x≥0)上b2c2ab的情形即可．
2
a?c??2|PM|2??x???y
2??c?a2(a?c)?(a?c)2a2(a?c)22?2?x????b?4a?2c2?4c2222．
a(a?c)a2(a?c)2x?|PM|当x?，即时，的最小值在时取到， ≤aa≤2c222c2ca2(a?c)此时P的横坐标是
2c2a2(a?c)?a，即a?2c时，由于|PM|2在． 当x?22cx?a时是递减的，|PM|2的最小值在x?a时取到，此时P的横坐标是a．
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