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十二、交轨法
如果所求轨迹是两条动曲线（包括直线）的交点所得，其一般方法是恰当地引进一个参数，写出两条动曲线的方程，消去参数，即得所求的轨迹方程，所以交轨法是参数法的一种特殊情况。
22【例1】已知椭圆C：x?y?1 (a?b?0)的离心率为6,短轴一个端点到右焦点F的距
3a2b2离为3.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l经过椭圆的焦点F交椭圆C交于A、B两点,分别过A、B作椭圆的两条切
线，A、B为切点，求两条切线的交点P的轨迹方程。
?c6?，?【巧解】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意?a3解之得c?2
?a?3，?x2?b?1，?所求椭圆方程为?y2?1．
3x2?y2?1 （Ⅱ）由（I）知F(2,0)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x0,y0)，对椭圆3求导：
2xx?2yy??0，即y???，则过A点的切线方程PA为33yx1y?y1??(x?x1) 整理得x1x?3y1y?3 ① 同理过B点的切线方程PB为
3y1x2x?3y2y?3 ②，又P(x0,y0)在两切线PA、PB上，∴x1x0?3y1y0?3
x2x0?3y2y0?3，因此，A(x1,y1)，B(x2,y2)两点在均在直线x0x?3y0y?3上，
又∵F(2,0)在直线x0x?3y0y?3上，∴x02?3y0?0?3，即x0?轨迹方程
32为交点P的2【例2】过抛物线C：y?x上两点M，N的直线l交y轴于点P（0，b）.
（Ⅰ）若∠MON是钝角（O为坐标原点），求实数b的取值范围；
（Ⅱ）若b=2，曲线C在点M，N处的切线的交点为Q.证明：点Q必在一条定直线上 运动.
22【巧解】（Ⅰ）设点M，N坐标分别为(x1,x12),(x2,x2)(x1?x2),则OM?(x1,x12),ON?(x2,x2).由
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???k2?4b?0题意可设直线l方程为y=kx+b,?y?x ?由?消去y得x2?kx?b?0,??x1?x2?k?y?kx?b?x?x??b?122??MON是钝角,?cos?MON?OM?ON|OM|?|ON|?0,且cos?MON??1.
2由OM?ON?x1x2?x12x2??b?b2?0,得0?b?1.此时O,M,N三点不共势,cos?MON??1不成立.?b的取值范围是(0,1).??6分（Ⅱ）当b=2时，由（Ⅰ）知?∵函数y=x的导数y′=2x，
2
?x1?x2?k,
x?x??b??2,?12抛物线在M(x1,x1),N(x2,x2)两点处切线的斜率分别为kM?2x1,kN?2x2,∴在点M，N处的切线方程分别为
lM:y?x12?2x1(x?x1),2lN:y?x2?2x2(x?x2).2??y?x1?2x1(x?x1),由?(x1?x2),解得交点Q的坐标(x,y)满足2?y?x?2x(x?x)222?x1?x2?k?,?x?,?x?2即?2????y?x1?x2,?y??2,22
?Q点在定直线y??2上运动.巧练一：已知定点A（1，0）和定直线x??1上的两个动点E、F，满足AE?AF，动点P满足EP//OA,FO//OP（其中O为坐标原点）. （Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线l经过点M(1,0)与轨迹C交于A、B两点,分别过A、B作轨迹C的两条切
线，A、B为切点，求两条切线的交点P的轨迹方程。
巧练二：如图，在以点O为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB=30°. 曲线C是满足||MA|－|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P. （Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程； （Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F. 分别过E、F.作轨迹C的两条切线，E、F.为切点，
求两条切线的交点Q的轨迹方程。
十三、几何法
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利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律，然后得出题目结论的方法叫做几何法。
【例1】(2008年，浙江卷)已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足
(a?c)?(b?c)?0,则|c| 的最大值是（ ）
（A）1
（B）2
（C）2
（D）
2 2【巧解】不妨设以a、b所在直线为x轴，y轴，且a?(1,0)，b?(0,1)，y c?(x,y)由已知(a?c)?(b?c)?0得a?b?(a?b)?c?|c|2?0，
整理得x2?y2?x?y?0 即(x?O C |c| x 111211)?(y?)2?，所以向量c的坐标是以(,)为圆心，
222222为半径的一个圆且过原点，故|c|的最大值即为圆的直径为2，故本题选（C） 2【例2】（2008年，江苏卷）若AB=2，AC=2BC,则S?ABC的最大值 . 【巧解】建立如图平面直角坐标系，设C(x,y)，A(0,0)，B(2,0)，由AC?2BC
22即|AC|?2|BC|，∴x?y?2(x?2)2?y2，
y C(x,y) D(4,0) x 化简得x?8x?y?8?0
配方得(x?4)?y?8，所以C点轨迹是以D(4,0)为圆心，
2222A B(2,0) 22为半径的一个圆（除去与x轴的两个交点），所以当C点纵坐标绝对值为22，即
|y|?22时，S?ABC有最大值为
巧练一：已知A(m?2?22?22，所以答案为22 211,m?)，B(1,0)，其中m?0，则|AB|的最小值为 . mm(x?2)2?y2?6，则2x?y的最大值
22巧练二：已知实数x、y满足(x?2)?y?等于 .
十四、弦中点轨迹法
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有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦重点轨迹。“点差法”解决有关弦中点问题较方便，要点是巧代斜率。 【例1】（2009年高考海南、宁夏卷）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直
线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点为（2，2），则直线l的方程
为 .
【巧解】由F(1,0)知抛物线C的方程为y2?4x，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入抛物
222线方程则有：y1?4x1，y2?4x2，两式相减有y12?y2?4(x1?x2)，
即
y1?y2(y1?y2)?4?k(y1?y2)?4，又y1?y2?4，∴4k?4，即k?1。
x1?x2故lAB：y?2?x?2，即y?x，∴本题应填y?x
【例2】椭圆ax2?by2?1与直线y?1?x交于A、B两点，若过原点与线段AB中点的直线的倾斜角为30，则
0a的值为 （ ） b（A）
3 4（B）
3 3（C）
3 2（D）3
【巧解】设AB的中点为M(x0,y0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1?x2?2x0
?ax12?by12?1，两式相减，得 y1?y2?2y0，又?22?ax2?by2?1a(x1?x2)(x1?x2)?b(y1?y2)(y1?y2)?0，
即2ax0(x1?x2)?2by0(y1?y2)?0，∴
axy1?y2??0??1
x1?x2by0∴
ax0ya33，∴?，故选（B） ?1，又0?tan300?b3by0x0322巧练一：若椭圆mx?ny?1与直线x?y?1?0交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为
n2，则的值为 .
m2x2y2??1的弦被点P(4,2)平分，巧练二：若椭圆则此弦所在直线的斜率是为 . 369精彩文档
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十五、比较法
现实世界的同类量之间，有相等关系，也有不等关系。两个可以比较大小的量a和b，若a?b?0，a?b?0，a?b?0，则它们分别表示a?b，a?b，a?b，我们把根据两个量的差的正、负或零判断两个量不等或相等的方法叫做差式比较法；当两个量均为正值时，有时我们又可以根据
aaa?1，?1或?1来判断a?b，a?b，a?b，这个方法叫bbb做商式比较法。这两种方法在数列与函数、不等式交汇问题中应用广泛。
比较法之一（作差法0步骤：作差——变形——定号——结论 （1）作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。
（2）变形：常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”。 （3）定号：就是确定是大于0，还是等于0，还是小于0，最后下结论。 概括为“三步，一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键。
注意：若两个正数作差比较有困难，可以把式子灵活变形，通过作商或将它们的平方差来比较大小。
【例1】已知数列?an?中，a1?1，且点P(an,an?1)(n?N*)在直线x?y?1?0上 （1）求?an?的通项公式； （2）若函数f(n)?111求函数f(n)的最小值. ??...?(n?N,n?2)，
n?a1n?a2n?an【巧解】（1）?点P(an,an?1)在直线x?y?1?0上，即an?1?an?1且a1?1
?数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列 ?an?1?(n?1)?1?n ?an?n
111????， n?1n?22n11111f(n?1)???????
n?2n?32n2n?12n?2111111?f(n?1)?f(n)???????0
2n?12n?2n?12n?22n?2n?17?f(n)是单调递增的，故f(n)的最小值是f(2)?
12（2）?f(n)?【例2】（Ⅰ）已知函数f(x)??3x2?6x?2.Sn是数列{an}的前n项和，点（n，Sn）
（n∈N*），在曲线y?f(x)?2上，求an.
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若bn?()精彩文档
12n?1,cn?an?bn，且Tn是数列{cn}的前n项和.试问6