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111?1?()n?[1?()n]
234411141113??()n??()n?????. 3234323443?当n?N*时,都有?Sn?3.
4【例2】已知数列?an?的各项均为正数，Sn为其前n项和,对于任意n?N*,满足关系
Sn?2an?2
（Ⅰ）求数列?an?的通项公式；
（Ⅱ）设数列?bn?的前n项和为Tn，且bn?1，求证：对任意正整数n，总有2(log2an)Tn?2;
【巧解】（Ⅰ）解：?Sn?2an?2(n?N*), ①
?Sn?1?2an?1?2(n?2,n?N*) ②
①—②，得an?2an?2an?1. (n?2,n?N)
*?an?0,?an?2. (n?2,n?N*) an?1即数列?an?是等比数列. ?a1?S1,
?a1?2a1?2,即a1?2.?an?2n.(n?N*)
（Ⅱ）证明：∵对任意正整数n，总有bn?11?.
(log2an)2n2?Tn?111111?????1????? 2221?22?3(n?1)n12n111111???????2??2. 223n?1nn巧练一：已知数列{an}的通项为an，前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项；数 列{bn}中，b1?1,点P（bn，bn?1）在直线x?y?2?0上， （Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式an，bn；
?1?1?（Ⅱ）设{bn}的前n项和为Bn，试比较
111????与2的大小； B1B2Bn精彩文档
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巧练二：已知数列{an}和{bn},{an}的前n项和为Sn,a2?0，且对任意n?N，都有
?2Sn?n(an?1),点列Pn(an,bn)都在直线y?2x?2上.
（1）求数列{an}的通项公式； （2）求证：12|P1P2|?12|P1P3|???12|P1Pn|?2(n?2,n?N?) 5二十、反证法
从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、公理、定理、法则或已经证明为正确的命题等相矛盾，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明的证明方法叫反证法。基本证明模式是：要证明M?N，先假设M?N，由已知及性质推出矛盾，从而肯定M?N，适用范围：①否定性命题；②唯一性命题；③含有“至多”、“至少”问题。④根据问题条件和结论，情况复杂难于入手，可考虑试用反证法。
反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：否定结论?推导出矛盾?肯定结论成立，应用反证法证明的主要三步是：第一步，反设——作出与求证结论相反的假设；第二步——归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步——肯定结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
【例1】若0?a?2,0?b?2,0?c?2,证明 (2?a)b，(2?b)c，(2?c)a不能同时大于1
?(2?a)b?1(2?a)?b(2?b)?c??1 ?(2?a)b?1；同理【巧证】假设?(2?b)c?1，那么
22?(2?c)a?1?(2?c)?a?1，上述三式相加得3?3，矛盾，故假设不成立，原命题成立
2【例2】求证：y?sin|x|不是周期函数
【巧证】假设函数y?sin|x|是周期函数，即对任意x?R都T是它的一个周期(T?0)，有sin|x?T|?sin|x|成立，令x?0，得sin|T|?sin|0|,即sin|T|?0，∴
T?n?(n?N?)，分两种情况讨论：
（1）若n?2k(k?N?)，则sin|x?2k?|?sin|x|对任意x?R都成立，取x??有sin|?3?， 23?3?3?3?)??1， ?2k?|?sin|?|?sin??1，即sin(2k??22223?3?3?)?sin(?)??sin?1，∴T?2k?(n?N?)不是该函数的周期。而sin(2k?? 222精彩文档
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（2）若n?2k?1(k?N?)，则有sin|x?(2k?1)?|?sin|x|对任意x?R都成立， 取x??2，有有sin|?2?(2k?1)?|?sin|?2|?sin?2?1，即sin(2k??3?)?1， 2而sin(2k??3?3?)?sin()??1，∴T?(2k?1)?(n?N?)不是该函数的周期。 22由（1）和（2）说明T?n?(n?N?)不是该函数的周期。故假设不成立，从而命题得证。 巧练一：设f(x)?x2?ax?b，求证|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|之中至少有一个不小于巧练二：若下列方程：x?4ax?4a?3?0，x2?(a?1)x?a2?0，
21 2x2?2ax?2a?0至少有一个方程有实根。试求实数a的取值范围。
二十一、换元法
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元的方法有：（1）局部换元，局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式4?2?2?0，先变形为设（2）三角换元，t?2x(t?0)，而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某
点联系进行换元。 如求函数y?x2?x?1?x的值域时，易发现x?[0,1]设x?sin2?，??[0,]，问
2题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联
222系，又有去根号的需要。如：已知x?y?a ，可设x?acos?，
y?asin?(0???2?)
22已知x?y?1 ，可设x?rcos?，y?rsin?(0???2?,0?r?1)
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x2y2已知2?2?1，可设x?acos?，y?bsin?(0???2?)
abx2y2已知2?2?1，可设x?asec?，y?btan?
ab（3）均值换元，如遇到x?y?S形式时，设x?SS?t y??t等等。 22我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的
选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。 【例1】（2008年，江西卷）若函数y?f(x)的值域是[,3]，则函数F(x)?f(x)?的值域是（ ）
A．[,3]
121 f(x)12B．[2,10] 3C．[,510] 231tD． [3,10] 3【巧解】令f(x)?t，t?[,3]，问题转化为求函数y?t?在t?[,3]的值域，于是由
函数y?t?在[,1]上为减函数，在[1,3]上为增函数，得y?[2,【例2】（2008年，重庆卷）函数f(x)?12121t1210]，故本题选B 3sinx?13?2cosx?2sinx（B）[－1,0]
(0???2?)的值域是（）
（A）[－
2,0] 2
（C）[－2,0] （D）[－3,0]
【巧解】f(x)?sinx?13?2cosx?2sinx?sinx?1sinx?cosx?2cosx?2sinx?2，当sinx?1时，
22
?sinx?1(sinx?1)?(cosx?1)1，令t?22原式??1?(cosx?12)sinx?1cosx?1，即tsinx?cosx?t?1，
sinx?12∴t?1sin(x??)?t?1，即sin(x??)?t?1t?12，其中tan??||，0???1t?2
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又0???2?，∴|sin(???)|?1，即|t?1t?12解之得t?0，∴?1??|?1，
11?t2?0，
当sinx?1时，f(x)?0，综上知f(x)的值域为[?1,0]，故本题选B 巧练一：函数f(x)?4x?2x?1?2的值域是
A．[1,??)
B．(2,??)
C．(3,??)
（ ） D．[4,??)
巧练二：(2005年，福建卷)设a,b?R,a2?2b2?6,则a?b的最小值是（ ）
A．?22 B．?53 3C．－3
D．?7 2
共98种解题方法，其他略
第十一章 不等式
难点巧学
一、活用倒数法则 巧作不等变换——不等式的性质和应用
不等式的性质和运算法则有许多,如对称性,传递性,可加性等.但灵活运用倒数法则对解题,尤其是不等变换有很大的优越性.
11
倒数法则：若ab>0,则a>b与<等价。
ab
此法则在证明或解不等式中有着十分重要的作用。如：（1998年高考题改编）解不等式1
loga(1-)>1.
x
111
分析：当a>1时，原不等式等价于：1->a,即 <1-a ,∵a>1,∴1-a<0, <0,从而1-a,
xxx1111
同号，由倒数法则，得x>; 当00, >0, 从而1-a, 同号，由倒数法则，得1 精彩文档