实用标准文案
11
综上所述，当a>1时,x∈(,+∞)；当0
1-a1-a
注：有关不等式性质的试题，常以选择题居多，通常采用特例法,排除法比较有效。
二、小小等号也有大作为——绝对值不等式的应用
绝对值不等式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。这里a,b既可以表示向量，也可以表示
实数。
当a,b表示向量时，不等式等号成立的条件是：向量a与b共线； 当a,b表示实数时，有两种情形：（1）当ab≥0时，|a+b|=|a|+|b|, |a-b|=||a|-|b||;(2)当ab≤0时，|a+b|=||a|-|b||, |a-b|=|a|+|b|.简单地说就是当a,b同号或异号时，不等式就可转化为等式（部分地转化），这为解决有关问题提供了十分有效的解题工具。如：
11
若1<<,则下列结论中不正确的是（ ）
ab
A、logab>logba B、| logab+logba|>2 C、(logba)<1 D、|logab|+|logba|>|logab+logba|
分析：由已知，得0
2
三、“抓两头 看中间”，巧解“双或不等式”——不等式的解法
（1）解不等式（组）的本质就是对不等式（组）作同解变形、等价变换。 （2）多个不等式组成的不等式组解集的合成——先同向再异向
不等式组的解法最关键的是最后对几个不等式交集的确定。常用画数轴的方法来确定,但毕竟要画数轴.能否不画数轴直接就可得出解集呢?下面的方法就十分有效。可以“先同向再异向”的原则来确定，即先将同向不等式“合并”（求交集），此时“小于小的，大于大的”；最后余下的两个异向不等式，要么为空集，要么为两者之间。
x<1 ①x<3 ②
如解不等式组:x>-3 ③,
x>0 ④-1 ????? 先由③④(同>)得x>0(大于大的);再由①②(同<)得x<1(小于小的);再将x>0与x<1分 别与⑤作交集,由x>0与⑤得0 （3）双或不等式组的解集合成 ?f1(x)b 形如?的不等式组称为“双或”型不等式组（实际上包括多个“或”型 ?f2(x) 不等式组成的不等式组也在此列），这是解不等式组中的一个难点。解决这类不等式组时常借用数轴来确定，但学生在求解时总会出现一些错误。这里介绍一种不通过数轴的直接方法： ?xb“抓两头 看中间”！如：?,先比较a,b,c,d四个数的大小，如a ?x 中必含有xd（即抓两头）；再看x>b与x 精彩文档 实用标准文案 四、巧用均值不等式的变形式解证不等式 均值不等式是指：a+b≥2ab(a,b∈R) ①；a+b≥2ab( a,b∈R+) ②. 均值不等式是高考的重点考查内容，但其基本公式只有两个，在实际解题时不是很方便。若能对均值不等式进行适当变形，那么在解题时就能达到事半功倍的效果。下面的一些变形式在解题时就很有用，不妨一试。当然你也可以根据需要推导一些公式。如： 22 (1) a≥2ab-b③; 是将含一个变量的式子，通过缩小变为含两个变量的式子，体现增元之功效，当然反过来即是减元； a (2) ≥2a-b ④; (a,b>0) b 是将分式化为整式，体现分式的整式化作用;试试下面两个问题如何解: abc 求证：（1）a+b+c≥ab+bc+ac;(2) ++≥a+b+c. (a,b,c>0) bca 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a （析：（1）由a≥2ab-b得b≥2bc-c ,c≥2ac-a,三式相加整理即得；（2）∵≥2a-b b 2 2 2 2 2 2 2 ∴同样可得另两式，再将三式相加整理即得）。 a+b2 (3)ab≤()⑤; 2 利用不等关系实现两数和与两数积的互化； (4)a+ba+b ??ab ⑥;(a,b>0) 22 22利用不等关系实现两数和、两数的平方和及两数积之间的转化； 注：涉及两数和、两数的平方和及两数积的问题是一个十分常见的问题，利用⑤、⑥两式可以使其中的关系一目了然。从解题分析上看，对解题有很好的导向作用。 xy(x+y)xy (5)若a,b∈R+，则+≥⑦(当且仅当=时取等号); aba+bab 此式在解题中的主要作用表现在：从左向右看是“通分”（不是真正的通分）或“合并”， 化多项为一项，项数多了总不是好事；从右向左看，是“分解”或“拆项”，实现“一分为二”的变形策略。这在解不等式相关问题中就很有作为！请看下例： 112 例：已知-1 11(1+1)42 分析：由上不等式，立即得到 2+2≥22≥=。 1-a1-b2-a-b2-2ab1-abxyz(x+y+z) ⑦式还可推广到三个或更多字母的情形，即++≥(a,b,c>0); abca+b+cb1b2bn(b1+b2+…+bn) ++…+≥(a1,a2,…,an>0) a1a2ana1+a2+…+an (6) ax+by≤a+bx+y.(柯西不等式) 此不等式将和(差)式与平方和式之间实现了沟通,灵活应用此式可以很方便地解决许多问题.如下例: 例: 使关于x的不等式x-3+6-x≥k有解的实数k的取值范围是【 】 A 6-3 B 3 C 6+3 D 6 分析:所求k的范围可以转化为求不等式左边的最大值即可,由柯西不等式得 x-3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 精彩文档 实用标准文案 +6-x≤2(x-3)+(6-x)=23=6.∴k≤6,∴k的最大值是6.填D. 22 五、不等式中解题方法的类比应用 1、三种基本方法：比较法、分析法、综合法。其中比较法可分为作差比较法和作商比较法，不仅在不等式的证明和大小比较中有广泛的应用，同时在其他方面也有很大的作用。如分析法就是一种重要的思维方法，在数学的其他章节中也有广泛的应用。 2、放缩法：是不等式证明中一种十分常用的方法，它所涉及的理论简单，思维简单，应用灵活，因而在解题时有着十分重要的应用。如果能灵活应用放缩法，就可以达到以简驭繁的效果。 活题巧解 11 例1若1<<,则下列结论中不正确的是【 】 ．．．ab A logab>logba B | logab+logba |>2 C (logba)<1 D |logab|+|logba|>|logab+logba| 【巧解】特例法、排除法 11 由已知，可令a=，b=，则logab=log23>1,0 23D两边相等，故选D。 [答案] D。 ?|x-2|<2 例2 不等式组?的解集为【 】 2 ?log2(x-1)>1 2 (A) (0,3)； (B) (3,2)； (C) (3,4)； 【巧解】 排除法 令x=3,符合，舍A、B；令x=2,合题，舍D，选C。 [答案] C。 (D) (2,4)。 x1+λx2x2+λx1 例3 已知y=f(x)是定义在R上的单调函数，实数x1≠x2，λ≠-1α=,β=， 1+λ1+λ若|f(x1)-f(x2)|<|f(α)-f(β)|，则【 】 A．λ<0 B．λ=0 C. 0<λ<1 D．λ≥1 【巧解】 等价转化法 1x1+x2 λx2+λx1 显然λ≠0,β==, ∴ α、β分别是以x1,x2为横坐标的点所确定的线段 1+λ1 1+ λ1 以λ和为定比的两个分点的横坐标.由题意知，分点应在线段两端的延长线上，所以λ<0, λ故选A。 【答案】A。 例4 0 （A）|log(1+a)(1-a) |+| log(1-a)(1+a)|>2 （B）| log(1+a)(1-a)|<| log(1-a)(1+a) | （C）| log(1+a)(1-a)+log(1-a)(1+a)|<| log(1+a)(1-a)|+|log(1-a)(1+a)| （D）| log(1+a)(1-a)-log(1-a)(1+a)|>| log(1+a)(1-a)|-|log(1-a)(1+a)| 精彩文档 实用标准文案 【巧解】换元法、综合法 由于四个选项中只涉及两个式子log(1+a)(1-a) 和log(1-a)(1+a)，为了简化运算看清问题的本质，不妨设x= log(1+a)(1-a),y= log(1-a)(1+a),由02 B |x|<|y| C |x+y|< |x|+|y| D |x-y|< |x|-|y| 这样选A就是极自然的事了。 [答案] A。 1 ()x 1a1b 2y 例5已知实数 a，b满足等式()=()，下列五个关系式：1x 23 () 3 ①0 （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 a b O x 【巧解】数形结合法 在同一坐标系内同时画出两个函数图象：1x1x y1=(),y2=(),(如图)作直线y=m(m>0图中平行于x轴的三条虚线),由图象可以看到：当 230 例6 如果数列｛an｝是各项都大于0的等差数列，且公差d≠0，则【 】. （A）a1+a8a4+a5 （D）a1a8=a4a5 【巧解】特例法、排除法 取an=n,则a1=1, a4=4, a5=5, a8=8,∴a1 +a8=a4+a5,故选B。 [答案] B。 y 2222 例7 条件甲：x+y≤4,条件乙：x+y≤2x,那么甲是乙的【 】 A、 充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既非充分也非必要条件 o 1 2 x 【巧解】数形结合法 2222 画示意图如图。圆面x+y≤2x（包括圆周）被另一个圆面x+y≤4包含，结论不是一目了然了吗？ [答案] B 111 例8 已知a,b,c均为正实数，则三个数a+, b+, c+与2的关系是【 】 bcaA、都不小于2 B、至少有一个不小于2 C、都不大于2 D、至少有一个不大于2 【巧解】整体化思想 111111111将a+, b+, c+“化整为零”，得a++b++c+= a++b++c+≥6，故已知的三个数中 bcabcaabc至少有一个不小于2。故选B。 [答案] B 3x 例9 解不等式 –1<2<1. x-4 【巧解】数轴标根法、等价转化法 22 原不等式等价于 （3x+x-4)(3x-x+4)<0，即(x+4)(x-1)(x+1)(x-4)>0, 由数轴标根法，知解集为{x|x<-4或-1 精彩文档 实用标准文案 f(x) 注：可以证明不等式m< g(x) 例10 不等式|x+2|≥|x|的解集是______. 【巧解】 数形结合法 由数轴上点的意义知，上述不等式的意义是数轴上的点x到-2的距离不小于到原点的距离。由图形，易知，x≥-1。 [答案] {x|x≥-1} 例11已知c>0，不等式x+|x-2c|>1的解集是R，求c的取值范围。 【巧解】等价转化法 1 要使原不等式的解集为R，只需不等式中不含x即可，故有 x-x+2c>1 ∴ c>。 21 [答案] c> 2 注：这里将|x-2c|中去绝对值的讨论简化为符合题意的一种，显然简捷、精彩！ 例12已知f(x)=(x-a)(x-b)-2 (a 【巧解】数形结合法 2 令g(x)= (x-a)(x-b),则 f(x)=g(x)-2,由f(x)=0得g(x)=2,因此f(x)=0的两根m,n可看成直线y=2与y=g(x)交点的横坐标，画出 O m a b n x f(x),g(x)的图象，由图象容易得到m [答案] m 2222 例13 若0 222222 由0c-b,∴(d-a)>(b-c),又(a+d)+(a-d)=(b+c)+(b-c), 22 两式相减，得(a+d)<(b+c), ∴ a+d 注：本题的几何意义是：在RtΔABC与RtΔABD中，其中AB为公共的斜边。若BC>BD,则AC 1111 例14 求征：1+2+2+…+2<2- (n≥2,n∈N*). 23nn【巧解】逆用公式法、放缩法 11 逆用数列的前n项和的方法来求。设想右端2-是某数列{an}的前n项和，即令Sn=2-,nn1111111 则n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2-)-(2-)=-=, 这样问题就转化为2<,而这显 nn-1n-1nn(n-1)nn(n-1)然。 ∴命题成立。 [答案] 见证明过程 111 例15 已知a>b>c,求证：++>0. a-bb-cc-a【巧解】放缩法 ∵0 精彩文档 111111 >,而>0,∴ +>, ∴原式a-ba-cb-ca-bb-ca-c