实用标准文案
Tn是否存在最大值？若存在，请求出Tn的最大值，若不存在，请说明理由. 【巧解】（Ⅰ）点（n，Sn）在曲线y?f(x)?2上，所以sn??3n2?6n.
当n=1时，a1= S1=3，当n≥2时，an= Sn- Sn-1=9-6n，
?an?9?6n.
119?6n1n?11bn?()n?1,cn?anbn?()?(3?2n)()n,
26622111?Tn?c1?c1??cn??()2??(3?2n)()n.
2221n利用错位相减法，?Tn?(2n?1)()?1.
211Tn?1?(2n?1)()n?0,Tn?1?1?(2n?3)()n?1?0,
221n(2n?1)()Tn?12?1, ?Tn?1?1(2n?3)(1)n?12（Ⅱ）
?Tn?1?1?Tn?1,?Tn?1?Tn?存在最大值T1?1 ?T1?.21. 2 D．b
（ ）
巧练一：（2005年，全国卷）若a?ln2,b?ln3,c?ln5，则
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A．a B．c x巧练二：已知函数f(x)?a?2?b的图象过点A(1,),B(2,). ?13252（Ⅰ）求函数y?f(x)的反函数y?f（Ⅱ）记an?2f使得(1??1(x)的解析式； (n)(n?N*)，是否存在正数k， 111)(1?)?(1?)?k2n?1对n?N*均成立.若存在，求出k的最 a1a2an大值；若不存在，请说明理由. 十六、基本不等式法 借助基本不等式证明不等式或求某些函数最值的方法叫基本不等式。常用的基本 22不等式有下面几种形式：①若a、b?R，则a?b?2ab，（当且仅当a?b时取 a2?b2等号），反之ab?也成立，②若a?0、b?0，则a?b?2ab，（当且 2精彩文档 实用标准文案 仅当a?b时取等号），反之ab?(333a?b2)也成立。③若a、b、c都是正数，则2a3?b3?c3a?b?c?3abc，（当且仅当a?b?c时取等号），反之abc?也 2成立。④若a、b、c都是正数，则a?b?c?33abc，（当且仅当a?b?c时取等号），反之abc?(a?b?c3)也成立。对于公式a2?b2?2ab及公式2a?b?2ab的理解，应注意以下几点： ①两个公式成立的条件是不同的，前者只要求a、b是实数，而后者强调a、b必须是正数。②要对两个公式的等号及“当且仅当a?b时取等号”的含义要有透彻的理解并会在函数、三角函数、解析几何等知识中灵活应用。 解题功能及技巧是：①二、三元不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能。②在创设应用不等式的使用条件时，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧。③“和定积最大，积定和最小”，即n个(n?2,3)正数的和为定值，则可求积的最大值，积为定值，则可求和的最小值。应用此结论求某些函数最值要注意三个条件：就是“一正——各项都是正数；二定——积或和是定值；三等——等号能否取到”，求最值时，若忽略了上述三个条件，就会出现错误，导致解题失败。必要时要做适当的变形或换元，以满足上述条件。 【例1】（2008年，重庆卷）函数f（x）=sinx（0≤x≤2?）的值域是（ ） 5?4cosx11] 3322（D）[－,] 33（B）[－,11,] 4411（C）[－,] 22（A）[－ sin2x?cos2x?1?【巧解】∵f(x)?，∴f(x)? 5?4cosx5?4cosx5?4cosxsinx2令t?5?4cosx，∵0?x?2?，?1?cosx?1，∴t?0 t?5?cos2x?1∴cosx?，∴?45?4cosx?(5?t2)?1194??(t??10) t16t??即x?91191当且仅当t?，即t?3时取等号，此时cosx??，(2t??10)?， t216t42?4?111112或，∴f(x)?，因而??f(x)?，故f(x)的值域为[－,] 22334222sin2x?1【例2】（2008年，辽宁卷）设x?(0,),则函数y?的最小值为 . 2sin2x?精彩文档 实用标准文案 【巧解】由二倍角公式及同角三角函数的基本关系得： 12sin2x?12sin2x?13sin2x?cos2x3tan2x?13y???? =tanx?， 22tanxsin2x2sinxcosx2sinxcosx2tanx∵x?(0,?2),∴tanx?0，利用均值定理，y?231tanx??3，当且仅当 22tanxtan2x?1时取“=”，∴ymin?3，所以应填3. 3x2?x?1(x?0)的最小值是 。 巧练一：函数y?2x?2x?1巧练二：求函数y?x(1?5x)(0?x?)的最大值。 215十七、综合法 利用某些已知证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法。 【例1】已知a,b是正数，且 ab??1，x,y?(0,??)，求证：x?y?(a?b)2 xyaxbbxay)?a?b???a?b?2ab?(a?b)2 yyx【巧证】左?x?y?(x?y)?(?aybxx2a，即2?时，取“＝”号，故x?y?(a?b)2。 ?右，当且仅当?xyyb111???9 abc111a?b?ca?b?ca?b?cbacacb???3?(?)?(?)?(?) 【巧证】???abcabcabacbc1?3?2?2?2?9，当且仅当a?b?c?时取“＝”号。 312巧练一：已知函数f(x)?x?lnx．设g(x)?f?(x)， 2【例2】已知a,b,c是正数，且a?b?c?1，求证：求证：[g(x)]?g(x)?2?2(n?N)． 巧练二：已知a,b,c,d都是实数，且a?b?1，c?d?1，求证：|ac?bd|?1 2222nnn*十八、分析法 证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法通常叫分析法。 精彩文档 实用标准文案 注意：①分析法是“执果索因”，步步寻求不等式成立的充分条件，可以简单写成 B?B1?B2??Bn?A，②分析法与综合法是对立统一的两种方法。综合法是 “由因导果”；③分析法论证“若A则B”这个命题的证明模式（步骤）是： 欲证明命题B成立，只须证明命题B1成立，?，从而有?，只须证明命题B2成立，从而又有?，只须证明命题A成立，而已知A成立，故B必成立。④用分析法证明问题时，一定要恰当用好“要证”，“只须证”，“即证”，“也即证”等词语。 【例1】求证3?7?2?6 【巧证】∵3?7?0，2?6?0，要证3?7?2?6， 只须证(3?7)2?(2?6)2，即证10?221?10?224 也即证21?24，∵21?24，21?24显然成立，∴原不等式3?7?2?6成立。 【例2】设a?0，b?0，且2c?a?b，证明c?c2?ab?a?c?c2?ab 【巧证】要证c?c2?ab?a?c?c2?ab 只须证?c2?ab?a?c?c2?ab，即证|a?c|?c2?ab 2222两边平方得：a?2ac?c?c?ab，也即证a?ab?2ac，∵a?0且2c?a?b 2∴a?ab?2ac显然成立，∴原不等式成立。 巧练一：求证3?7?25 巧练二：已知a?0，b?0，a?b?1，试证明：(a?1125)(b?)? ab4十九、放缩法 欲证A?B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得B?B1， 。。。B?A或A?A，A?A，。。A?B，在利用传递性，达到欲证的目的，这B1?B2，112。ii种方法叫放缩法。放缩法的实质是非等价转化，放缩没有一定的准则和程序，需按题意适当 放缩否则是达不到目的，此方法在数列与函数、不等式综合问题中证明大小关系是常用方法。 放缩法的方法有：（1）添加或舍去一些项，如：a2?1?|a|；n(n?1)?n （2）将分子或分母放大（或缩小） （3）利用基本不等式，如：n(n?1)?n?(n?1) 2精彩文档 实用标准文案 （4）利用常用结论：①k?1?k?1k?1?k?12k； ② 11111111；（程度大） ??????k2k(k?1)k?1kk2k(k?1)kk?1144411????2(?)（程度小） 2222k?12k?1k4k4k?1(2k?1)(2k?1)③ 2k2k2k?111④k ????2kkkk?1k?1k(2?1)(2?1)(2?2)(2?1)(2?1)2?12?1【例1】已知数列{an}中,a1?2,anan?1?an?1?2an(n?N*). （1）求{an}的通项公式； （2）设bn?an(an?1)(n?N*),Sn是数列{bn}的前n项和,证明:【巧解】由anan?1?an?1?2an,得1?3?Sn?3. 412 ?anan?1即 1an?12n11111n?11. ?1?(?1). ??1???()??n,?an?n2anan222?12（2）当n=1时，S1?a1(a1?1)?2, 32n2n2n??S1?3,?n?2时,bn?an(an?1)?n (?1)?n42?12n?1(2?1)22n2n?111?n???, nnn?1n?1n(2?1)(2?2)(2?1)(2?1)2?12?1?Sn?2?(?3?111111?2)?(2?3)???(n?1?n) 2?12?12?12?12?12?11?3. n2?12n(2n?1)?111又?n?N*时,bn?n ???2n2nn2(2?1)(2?1)2?1(2?1)1111[(1?()n][1?()n]112?44 ?n?(n)2?Sn?211221?1?24精彩文档