实用标准文案
[答案] 见证明过程
a+b+ca+b3
例16 已知a,b,c均为正数，求证：3( - ab)≥2( - ab)。
32
【巧解】比较法、基本不等式法
3333
∵ 左边-右边=2ab+c-3ab=ab+ab+c-3ab≥3ab-3ab=0，∴原式成立。 [答案] 见证明过程
112
例17 已知-1
1-a1-b1-ab【巧解】构造法、综合法
a1
由无穷等比数列（|q|<1）所有项和公式S=，得
1-q
11246246
2=1+a+a+a+…; 2=1+b+b+b+…, 1-a1-b
1122244662233
∴ 2+. 2=2+( a+b)+( a+b)+( a+b)+…≥2+2ab+2ab+2ab+…=1-a1-b1-ab[答案] 见证明过程
9例18 已知a+b=1(a,b∈R)，求证：(a+1)+(b+1)≥。
2
2
2
y o P(-1,-1) T Q x 【巧解】数形结合法。
22
显然Q(a,b)是直线L：x+y=1上的点，(a+1)+(b+1)表示点
2
Q与P(-1,1)的距离的平方。如图，设PT⊥直线L于T，所以|PQ|
|-1-1-1|299222
≥|PT|，又|PT|=()=，∴|PQ|≥ 221+1∴原式成立。
[答案] 见证明过程
例19 若0≤θ≤，求证：cos(sinθ)>sin(cosθ).
2【巧解】单调性法 、放缩法
π∵cosθ+sinθ=3sin(θ+)≤2<，∴cosθ< -sinθ,
422又∵0≤θ≤，∴cosθ∈[0,1], -sinθ∈[-1,]，
2222
∴ sin(cosθ) 2[答案] 见证明过程 x 例20 已知f(x)=，若a>b>0,c=2 x+1【巧解】基本不等式法、放缩法 可以证明f(x)在(0,+∞)上是增函数。 ∵ c=2 1 ≥2b(a-b) 1 =2a-b+b2()2 4442=>0,∴ c≥， aaa 1 ,求证：f(a)+f(c)>1. b(a-b) ππππππππ精彩文档 实用标准文案 4a44aa4a4 ∴f(c)≥f()，而f(a)+f(c)≥f(a)+f()=+=+>+=1. aaa+14a+1a+4a+4a+4 +1a [答案] 见证明过程 222 例21 若关于x的不等式x+2ax-2b+1≤0与不等式-x+(a-3)x+b-1≥0有相同的非空解集，求a,b的值。 【巧解】等价转化法,数形结合法 2222 将y= x+2ax-2b+1与 y=-x+(a-3)x+b-1两式相加，得 2y=(3a-3)x+b-2b,此即为直线MN的方程（其中M、N分别为两函数图象与x轴的两个交点）；另一方面，由题意知，MN即 2 x轴，其方程为y=0,比较两式的系数得，3a-3=0,b-2b=0,从而易得a=1,b=0或2，特别地当a=1,b=0时，两不等式的解集为{-1}，也符合题意。 [答案] a=1,b=0或2。 例22设定义在[-2,2]上的偶函数在区间[0,2]上单调递减，若f(1-m) 【巧解】等价转化法 解：∵f(x) 是偶函数，∴f(-x)=f(x)=f(|x|), ∴ f(1-m) 又当x∈[0,2]时，f(x)单调递减，∴ |1-m|>|m|且-2≤1-m≤2且-2≤m≤2 1 解得 -1≤m<。 21 [答案] -1≤m<. 2 注：本题应用了偶函数的一个简单的性质，从而避免了一场“大规模”的讨论，值得关注。 1x+2x+3 例23解不等式：<3 <3. 22x+x+1【巧解】构造法，定比分点法 1x+2x+3把、3 、3看成是数轴上的三点A、P、B，由定比分点公式知P分所成的比t>0,22x+x+1x+2x+31 -3 2x+x+125即>0,化简得 x(3x+5)>0,∴ x∈(-∞,)∪(0,+∞)。 3x+2x+333-3 2x+x+1 5 [答案] x∈(-∞,)∪(0,+∞)。 3 例24 已知x,y,z均是正数，且x+y+z=1,求证：1-3x+1-3y+1-3z≤6。 【巧解】配凑法、升幂法 不等式两边配上2 ，再运用均值不等式升幂。（你知道为什么要配3 222222+1-3x+1-3y+1-3z333221-3z≤ + + 3222 2 吗？） 3 2 2 2 3 3 3 221-3x+3221-3y+3 精彩文档 实用标准文案 15-3×222 35-3(x+y+z) =≤=2， ∴原式成立。 22 [答案] 见证明过程 222 例25 设a,b,c为ΔABC的三条边，求证：a+b+c<2(ab+bc+ca). 【巧解】综合法 222 ∵a+b>c,b+c>a,c+a>b,∴三式两边分别乘以c,a,b得ac+bc>c,ab+ac>a,bc+ab>b,三 222 式相加并整理得, a+b+c<2(ab+bc+ca). [答案] 见证明过程 8103 例26 解不等式 - x-5x>0. 3+ (x+1)x+1【巧解】构造法,综合法 原不等式等价于(f( 23233 )+5()>x+5x,构造函数f(x)= x+5x,则原不等式即为x+1x+1 22 )>f(x)，又f(x)在R上是增函数，∴>x,解此不等式得 x<-2或-1 12 例27已知函数f(x)=x+ax+b(a,b∈R),x∈[-1,1],求证：|f(x)|的最大值M≥. 2【巧解】反证法 1111121 假设M<,则|f(x)|<恒成立，∴- 222222 111111 令x=0,1,-1,分别代入上式，得 - 22222231 由②+③得- 22 [答案] 见证明过程 2 例28 已知二次函数f(x)=ax+bx+c,且方程f(x)=0的两根x1、x2都在(0,1)内，求a 证:f(0)f(1)≤. 16 【巧解】待定系数法、基本不等式法 因方程有两个实根为x1,x2,故可设f(x)=a(x-x1)(x-x2),于是 11a f(0)f(1)=ax1x2·a(1-x1)(1-x2)=ax1(1-x1)x2(1-x2)≤a··≤。 4416 2 2 2 2 [答案] 见证明过程 22 例29 若a1、a2、…、a11成等差数列，且a1+a11≤100，求S=a1+a2+…+a11的最大值和最小值。 【巧解】基本不等式法、综合法 (a1+a11)=a1+2a1a11+a11≤2(a1+a11)≤200,∴|a1+a11|≤102， 11 又a1、a2、…、a11成等差数列,∴S=a1+a2+…+a11=(a1+a11), 2 ∴ Smax=552，Smin=-552. [答案] Smax=552，Smin=-552. 22222222例30若0≤x,y≤1，求证：x+y+(1-x)+y+x+(1-y)+(1-x)+(1-y)≥22 等 精彩文档 2 2 2 2 2 实用标准文案 1 号当且仅当x=y=时成立。 2 【巧解】构造法 如图，设正方形ABCD的边长为1，BH=x,AE=y,则 2 2 2 2 A y E G D F P HC=1-x,BE=1-y,于是AP=x+y,BP=x+(1-y), 1-y 2222 DP=(1-x)+y, PC=(1-x)+(1-y),由AP+PC≥AC，BP+DP≥BD，而AC=BD=2。看,此时结论是不是显然的了？ B x H [答案] 见证明过程 2 例31 设m是方程ax+bx+c=0的实根，且a>b>c>0,求证：|m|<1. 【巧解】综合法 1-x C bc 设方程的另一根为n,则由韦达定理得m+n=- <0,mn=>0,∴ m,n同为负数， aab ∴ 1>>|m+n|=|m|+|n|,∴ |m|<1,|n|<1.∴结论成立。 a [答案] 见证明过程 2 例32 已知二次函数f(x)=ax+bx+1(a,b∈R,a>0),设方程f(x)=x的两实根为x1和x2，如果x1<2 b 【巧解】 数形结合法 ?g(2)<02 设g(x)=f(x)-x=ax+(b-1)x+1,由题意得?,即 ?g(4)>0?4a+2b-1<0bb?,目标是证明->-1,即<2.如图作出约束条件下的平 2aa?16a+4b-3>0 11(,) 84a b 面区域（不含边界），而表示区域内的点(a,b)与坐标原点连线的 ab 斜率，易见<2,故命题成立。 a [答案] 见证明过程 11 例33 已知≤ak≤1(k∈N+),求证：a1a2…an+(1-a1)(1-a2)…(1-an)≥n-1. 22【巧解】增量法、换元法 11111111 设令ak=+bk(0≤bk≤)，则原式左边=(+b1)(+b2)…(+bn)+( -b1)( -b2)…( 222222221n1n1n-11n-1 -bn)=[()+M]+[()+N]=()+M+N≥()=右边，∴原式成立。 2222 [答案] 见证明过程 （注：多项式M和N正负抵消部分项后，所余部分和必为非负数。） x2y2 例34 记椭圆2 + 2 = 1（a>b>0），A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x aba-ba-b 轴相交于P(x0,0),证明：- 【巧解】数形结合法、等价转化法 x 记Q(x,y)是椭圆上的任一点，则 |PQ|=(x-x0)+y=(x-x0)+b(1-2),x∈[-a,a],得二次 a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 精彩文档 实用标准文案 a-baa222 函数，f(x)= (x-22x0)+b-22x0且由|PA|=|PB|,知 f(xA)=f(xB),即f(x)在[-a,a] aa-ba-ba 上不单调，由二次函数最小值的唯一性知 –a<22x0 a-b [答案] 见证明过程 2 例35 已知a,b,c∈R,f(x)=ax+bx+c.若a+c=0,f(x)在[-1,1]上的最大值是2，最小值5b 是-。证明：a≠0且||<2. 2a 【巧解】反证法 b 假设a=0或||≥2。 a （1）若a=0,则由a+c=0,得c=0,∴f(x)=bx.由题设知b≠0，∴f(x)在[-1,1]是单调函5 数，从而f(x)max=|b|;f(x)min=-|b|,于是|b|=2,-|b|=- ,由此得矛盾； 2 b-b2 （2）若||≥2,则||≥1且a≠0，因此区间[-1,1]在抛物线f(x)=ax+bx-a的对称轴 a2a-b x=的左侧或右侧，∴函数f(x)在[-1,1]上是单调函数，从而f(x)max=|b|;f(x)=-|b|,由（1）2a知这是不可能的。 综合（1）（2）知，命题成立。 [答案] 见证明过程 xyxy 例36 是否存在常数C，使得不等式+≤C≤+，对任意正数x,y恒成立？ 2x+yx+2yx+2y2x+y试证明你的结论。 【巧解】分析法 222 令x=y=1，得≤C≤，所以C=。下面给出证明： 333 xy2xy2 (1) 先证明：+≤，因为x>0,y>0,要证： + ≤，只要证 2x+yx+2y32x+yx+2y3 3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2(2x+y)(x+2y),即证：x+y≥2xy,这显然成立， xy2 ∴ +≤； 2x+yx+2y3 xy2 （2）再证：+≥，只需证：3x(2x+y)+3y(x+2y)≥2(x+2y)(2x+y), x+2y2x+y3xy222 即证：x+y≥2xy,这显然成立，∴+≥。 x+2y2x+y3 2xy2xy 综合（1）、（2）得，存在常数C=，使对于任何正数x,y都有+≤≤+32x+yx+2y3x+2y2x+y成立。 2 [答案] 存在常数C=,证明略. 3 2 y 2 2222 精彩文档 实用标准文案 精彩文档