第一章 级数基本概念
1.1 级数的定义
其定义如下：设un?R,n?1,2,3?，记所有无限项加起来的和为
?un?1?n?u1?u2?u3???an??
而?un则称为级数。
n?1?注：数项级数或无穷级数也常简称级数。
1.2 级数的分类
级数的种类繁多，并没有很详细的分类标准，本文考虑从通项的内容来看，主要分成两大类：数项级数和函数项级数。 数项级数：通项没有含有函数的的级数。 等比级数：（又称几何级数）形如
u?uq?uq2?uq3???uq4??
其中q?0 ，称为等比级数。
调和级数：形如
11111???????? 234n称为等比级数。
正项级数：若数项级数的各项的符号都相同，则称为同号级数。对于同号级数，只须研究各项都是由正数组成的级数——称为正项级数。
交错级数:若级数的各项符号正负相间，即：
u1?u2?u3?u4?????1?n?1un???????un?0,n?1,2,3??
称为交错级数。
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第一章 级数基本概念
一般项级数：没有以上特点的数项级数。
函数项级数：如果级数的每一项依赖于一个连续变量x，un?un?x?,x在一个区a?x?b上变化，这个级数就成为一个函数项级数，简称函数级数，记为?un。
n?1?幂级数：有幂级数列un?x?x0?所产生的函数项级数，即形如
?n??un?x?x0??u0?u1?x?x0??u2?x?x0????un?x?x0???
n?0?n2n的级数成为幂级数。
傅立叶级数：一般地说，若f?x?是以2?为周期且在???,??上可积的函数，以f?x?的傅立叶系数的三角级数
a0?f?x?????ancosnx?bnsinnx?
2n?1称为f?x?的傅立叶级数，其中
an?bn?f?x?cosnxdx,n?0,1,2,?, ????1?1???f?x?sinnxdx,n?1,2,3,?,
??称为傅立叶系数。
泰勒级数：设函数f?x?在点的某一邻域内具有直到n?1阶导数，则形如
?n?0?f?n??x?n?x?a? n!称为泰勒级数。
Laurent级数：如果函数f?x?在环形域R1?x?a?R2解析，则可以展开为
f?x??n????cn?x?a?
??n其中
f???1cn?d?????n?0,?1,?2,??
2?i?k???a?n?1
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称为Laurent系数，K是环形域内包围a在其内部的任意简单封闭曲线。 称
f?x??n????cn?x?a?
??n是f?x?在环形域R1?x?a?R2的Laurent级数。
1.3 级数收敛发散的充要条件
一般收敛：级数的收敛问题是级数理论的基本问题。从级数的收敛概念可知，级数的敛散性是借助于其部分和数列sn的敛散性来定义的。因此可从数列收敛的柯西准则得出级数收敛的柯西准则（宋国柱，2004）：?un收敛等
n?1?价于任意给定正数?，必有自然数N，当n?N，对一切自然数p，有
un?1?un?2?un?3???un?p??
即充分靠后的任意一段和的绝对值可任意小。
绝对收敛：设?an?是实数列，如果级数?an收敛，则级数?an收敛；
n?1n?1??条件收敛：如果级数?an收敛，但级数?an发散，则说级数?an条件
n?1n?1n?1???收敛；
一致收敛：设函数项级数?fn?z?在区域D中收敛于函数S?z?，若
n?1?????，??，使得当n?N时，Sn?z??S?z????f?z??S?z???对一切z?Dki?1n同时成立，则说?fn?z?在D一致收敛于S?z?。
n?1
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第一章 级数基本概念
1.4 常见级数对应的收敛定理
1.4.1 常数项级数
1. 当limSn?S存在，则收敛；
n??2. Cauchy准则：级数?un收敛的充分和必要条件是????，??,使得
n?1?当n?N时，Sn?p?Sn?un?1?un?2???un?p??对一切自然数p成立。
3. 无穷级数：收敛的必要条件：若级数?un收敛，则limun?0
n?1n???1.4.2 正项级数
1. 正项级数?un收敛的充分条件是它的部分序列和有上界；
n?1?2. 比较判别法：设0?un?vn,?n?1,2,3??，则 (1)若?vn收敛，则?un也收敛；
n?1?n?1??? (2)若?vn发散，则?un也发散；
n?1n?13. 比值判别法：设?vn和?un是两个正项级数，且limn?1n?1????un?? x??vn (1)若0?l???，则级数?vn和?un 同时收敛或同时发散；
n?1n?1 (2)若l?0，级数?vn收敛，则?un也收敛；
n?1n?1?? (3)若l???，级数?vn发散，则?un也发散。
n?1n?1??5
4. Cauchy判别法（根值判别法）：设?un是正项级数，limnun??
n?1n??? (1)则当??1时，级数?un 收敛；
n?1? (2) 则当??1时，级数?un 发散；
n?1?? (3) 则当??1时，级数?un 可能收敛也可能发散。
n?11?an?q?1，则?un收5. 对数判别法：若对任意的N??，当n?N时有
lnnn?1ln1?an?1，则?un发散。 敛；若有
lnnn?1ln6. 积分判别法：设f?x?是?1,???上非负下降函数，则
???f?x?dx收敛。 ??un??f?n????1n?1n?1???1.4.3 交错级数
1. Leibniz判别法：设un?0，un?un?1(n?1,2?)且limun?0，则交错级数
n???(?1)n?1?n?1un收敛且余和的绝对值
rN??n?N?1??(?1)n?1?nun?un?1
2. Cauchy定理：若级数?vn和?un 都绝对收敛，其和分别为S和?，则
n?1它们的乘积
??un?1k?1?nkvn?1?k?u1v1??u1v2?u2v1?????u1vn?u2vn?1??unv1???6