当x??2k?1??????k?Z?时，傅立叶级数收敛于
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当x??2k?1??????k?Z?时，傅立叶级数收敛于f?x?。 下面计算傅立叶系数
a0?1?????f?x?dx?1???0xdx??2
an?1?????f?x?cosnxdx?1???0xcosnxdx1???????xd?sinnx?n??011????????xsinnx?0?n?n?1???????cosnx?0?n2???01sinnxdxn
?2???????n?1,3,5,??1??n2????????n?????1??1???20n???0???????????????n?2,4,6,?bn?1???f?x?sinnxdx?????1?0xsinnxdx1????????xd?cosnx?n??011??????????xcosnx?0?cosnxdx?0n?n?n?1?1??1?????????sinnx?0nnxn?1?1????????n于是，函数f?x?的傅立叶展开式为
?2?11?f?x????cosx?cos3x?con5x???4??3252??????????111????????????????sinx?sin2x?sin3x?sin4x?
234????????????????????????x???,x??2k?1?,k?Z??
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第三章 级数敛散性比较及应用
3.2 基于通项特征的方法总结
按照上面所说的方法的确可以有效的使我们更快的判断级数的散敛性，但是对于通项一些有明显的一些特征的时候，可以采取下面的一些方法，以便更快的达到判断的效果。
(1)对于求级数的散敛性，首先要研究出其通项。但是当级数可化为含参数的一般式、通项为等差或等比式或通项为含二项以上根式的四则运算且通项极限无法求出时，可以选用正项级数的充要条件进行判断。如（张筑生，2008）：
1?111?????? 23n取0??0?1，?n??，若令p?n，有 21111Sn?p?Sn????????0
n?1n?22n2所以级数发散。
(2)当级数一般项如含有sin?或con?等三角函数的因子可以进行适当的放缩，并与几何级数、P级数、调和级数进行比较limun?1、limnun不容易算出或n??n??un者limun?1?1等此类无法判断级数收敛性或进行有关级数的证明问题时，应选用
n??un?比较判别法。例（胡适耕、张显文，2008）：?n?1?na?1??a?1?、?n?1??1?lnn?lnn。
比较判别法使用的范围比较广泛，适用于大部分无法通过其它途径判别其敛散性的正项级数。
(3)当级数通项un含形如nx、an、n!的或分子、分母含多个因子连乘除时，
??n2n!2nn!选用比式判别法。例（孙清华、孙昊，2003）：?、?、?、
nnnn?13n?14n?1n??n2arctann?1??2n?1。
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(4)当级数通项un含形如an、?f?n??的时候，可选用根式判别法。例如：
n?n??n?、??????n?1?2n?1?n?1?n?1??2n?n21??、??2nsin?。
n?n?1??n2一般来说，当选用根式判别法无法判断时，我们也可以选用比式判别法来判断，但有时候我们用根式判别法而不使用比式判别法，因为根式判别法得到的收敛条件比比式判别法更优（王传荣、朱玉灿、徐荣聪，2007）。
(5)当级数通项un含形如
11、的时候，或者含有sin?或con?等三角lnnf?lnn???11函数的因子可以找到原函数，可以选用积分判别法。例：?、?、2nlnnn?2n?2n?lnn?1。 ?n?3nlnnlnlnn?(6)当级数通项un含形如f?n?lnn的时候，可以选用对数判别法，例如?nlnn、
n?1??n?1?1?lnn?lnlnn。
(7)当级数通项同时含有阶层与n次幂或者分子、分母含多个因子连乘除时，使用比值、根式判别法时极限等于1或无穷无法判断其敛散性的时候，选用拉贝
??u?n!enn!1判别法。例：?、?????x?0?，limn?1?n?1???不
nn??un?2n?1nn?1?x?1??x?2???x?n????n?1?能用比值判别法；lim??n???n?limnun?n???1无法判别法散敛性不能用根式判别法，
enn!无法判别散敛性。因此，当根式判别法与比值判别法无法判断敛n散性时，我们可以选用拉贝判别法(叶国菊、赵妨,2009)。
(8)当级数通项是由两个部分乘积而成，其中一部分为单调递减且极限趋于0 的数列，另一部分为部分和有界的数列，如含有sin?或con?等三角函数、??1?等；或可化为??1?如??1?nnn?n?1?2 ???1?；也可以型如?sin?un?，un为任意函数，
n?1n?34
则可以选用狄利克雷判别法。阿贝尔判别法也可以看成是狄利克雷判别法的特殊形式。例设?bn收敛，则级数?n?1??n?1??bn?n3n?1?1?，，等bblnb1???nn?n??n?12nnnn?1??n?1n?1n都收敛。
(9)当级数通项同时含logn、f?logn?的时候，可以选择伯尔特昂判别法。如:
limn??nlogn?logkn???1?1n?1nlogn???1u?nlogn?logk?1n?n?1u???n?数收敛；??1，级数发散。
(10)当
unu的值可化为泰勒开式，则选用高斯判别法。如： n?1??1?xlnn?xn?1np??1?n?? 37
??1,级