1所以,调和级数?发散。.
n?1n?P级数：级数?1(p?0)称为P级数,试讨论该级数的散敛性. pn?1n?解:(1)当p?1时,这时级数的各项都不小于把调和级数的对应项,即
11? pnn1由前面可知调和级数?发散,由比较判别法可知该级数发散.
n?1n?(2)当p?1时,把P级数写成
1??1111??11??11?????????????pp??4pppp??8pp?2356715??????1??1111??11??1?1?????????????p??p??? pppppp2??4444??88??2111?1??2p?1?3p?1??2p?12??2??而1?12?p?1?122?p?1??123?p?1???是一个等比级数,且p?1,其公比q?12p?1?1,于是
级数?1p?1n?12收敛,由比较判别法可知,P级数收敛.
综上所述,当0?p?1时,P级数收敛;当p?1时,P级数发散. 在介绍几个常用来比较的级数后,接着介绍比较判别法 比较判别法定义 ：设?un和?vn是正项级数，则
n?1n?1??(1) 如果?vn收敛，并且存在c?0和n0??，使得un?cvn,?n?n0，那
n?1?么级数?un也收敛；
n?1?(2) 如果?vn发散，并且存在c?0和n0??，使得un?cvn,?n?n0，那么
n?1?12
第二章 级数敛散性判别法
级数?un也发散。
n?1? 证明：(1)对于?un??un??un??un?c?vn??un?c?vn，因
n?1n?1n?n0n?1n?n0n?1n?1Nn0?1Nn0?1Nn0?1N?N??N?为??vn?有上界，所以??un?也有上界。 ?n?1??n?1??1 (2)反证法：对于vn?un,?n?n0，如果级数?un收敛，那么根据上面的
cn?1??结论，级数?vn也应该收敛，但这与题设所矛盾。所以?un是发散级数。
n?1n?1例题1 设x??0,??，试判断级数?sinn?1?x的散敛性。 2n解：由题意得
sin?xx?,?n?2 n2n2?1x因为级数?收敛，所以级数?sin 也收敛。
22nn?1nn?1?例题2 试判断级数?n?11的散敛性。 4n?3解：容易知道
1111???,?n??， 4n?34n2n因为级数?n?1??11发散，所以级数?发散 n4n?3n?1??推论：设?un和?vn是正项级数，并且设极限limn?1n?1un??,(0?????)存vn在，则有：
(1)如果级数?vn收敛，????，那么级数?un也收敛，
n?1n?1??13
(2)如果级数?vn发散，??0，那么级数?un也发散。
n?1n?1??证明：（1）对于取定的??0，存在n0??，使得只要n?n0，就有也就是
un????，vnun??????vn,?n?n0
（2）对于取定的???0,??，存在n0??，使得只要n?n0，就有
un????，也就是 vnun??????vn,?n?n0
x??例题3 设x??0,??，试判断级数??1?cos?的散敛性。
n?n?1??解：容易知道
1?coslimn??xn?x2 12n2?1x??因为级数?收敛，所以级数??1?cos? 收敛。
2n?n?1nn?1??1例题4 试判断级数?ln(1?)的散敛性。
nn?1?解：容易知道
?1?lim??1???limln?N?1???? N??n?N??n?1??11因为级数?发散，所以级数?ln(1?)发散。
nn?1nn?1?N
14
第二章 级数敛散性判别法
2.2.2 比值判别法
运用比较判别法来解决级数散敛性问题是一种广泛应用的方法，但前提是需要找到一个能用来做比较的级数，要找到一个合适的级数并不容易，所以很多时候就要用到以下的比值判别法：
设有正项级数?un，如果limn?1??un?1??，则
n??un（1）当??1时，级数?un收敛；
n?1?（2）当??1时，级数?un发散；
n?1?（3）当??1时，级数?un可能收敛也可能发散。
n?1例题5 试判别级数?3ntann?1??4n的散敛性。
解：因为
limun?14n?1?3?1 ?limn??un???4n3n?tan4n?3n?1?tan?故根据比值判别法可知，原级数?3ntann?1?4n收敛。
例题6 试判别级数?解：因为
1的散敛性。 2n?11?n?11??n?1?u1?n2limn?1?lim?lim?1 n??un??n??2?2n?n21n1?n2215
?111?因此，比值判别法失效，但0?，而级数?是收敛的，可以根据比2221?nnn?1n较判别法可知，原级数?1也收敛。 21?nn?1?2.2.3 活用比较判别法
当所求级数的通项中出现关于n的有理式时，比较对象常常选择P级数或者调和级数。
例题7 试判别级数?解：因为
1的散敛性。
n?1n?n?1??11 ?2n?n?1?n?11又由于?收敛，则由比较判别法可知，级数?也收敛。
2n?1nn?1n?n?1??例题8 试判别级数?解：因为
n?1的散敛性。 42nn?1?n?1n?n2n1???， 2n42n42n4n3?1n?1又由于?收敛，则根据比较判别法可知，原级数?也收敛。
34n2nn?1n?1?例题9 试判别级数?解：因为
n?1的散敛性。
2n?12n?n?5?1nnn?1???
2222n2n2n?n?52n?n?5?1n?1又有级数?发散，根据比较判别法可知，原级数?也是发散的。
2?n?5n2nn?1n?1?16