第二章 级数敛散性判别法
例题10 试判别级数?2nsinn?1??3n的散敛性。
解：考虑到当x?0时，sinx?x，则
?2?sin?,2nsin?2n????? 3n3n3n3n?3?2?2?而????是公比q??1的收敛级数，故根据比较判别法可知，原级数
3n?1?3??n????n?2nsinn?1??3n收敛。
?n2?1例题11 试判别级数?ln的散敛性。
2nn?1解：由于
n2?11?1? ln?ln?1??2?2n2nn??而?1是收敛的级数，所以原级数收敛。 2n?1n?2.3 柯西判别法
柯西根式判别法（普通形式）设级数?un是正项级数，
n?1?(1)如果存在r?1和N??，使得nun?r,?n?N，那么级数?un收敛。
n?1?(2)如果对无穷个n有un?1，那么级数?un发散。
nn?1?柯西根式判别法（极限形式）设?un是正项级数。并设存在极限limnun?q，
n?1?则有
(1)如果q?1，那么级数?un收敛，
n?1?17
(2)如果q?1，那么级数?un发散。
n?1?证明：（1）对于取定的???0,1?q?，存在N??，使得nun?q???1,?n?N。 （2）对于取定的???0,q?1?，存在N??，使得nun?q???1,?n?N。
?n?例题1 判别级数???的散敛性。
n?1?2n?1?解：由于
n1?n?limnun?limn??lim??1 ?n??n??n??2n?12?2n?1?n?n?n?根据柯西判别法可知，级数???收敛。
2n?1?n?1?2n例题2 试判断级数?的散敛性。
lnn3n?1??n解：由于
2n22limun?lim?limlnn??2?1 n??n??3lnnn??3n30nn2n根据柯西判别法可知，级数?发散。
lnn3n?1?2.4达朗贝尔判别法
达朗贝尔判别法（普通形式） 设?un是严格的正项级数。
n?1??un?1?r,?n?n0，那么级数?un收敛。 (1)如果存在r?1和n0??使得unn?1?un?1?1,?n?n0，那么级数?un收敛。 (2)如果存在n0??使得unn?1?达朗贝尔判别法（极限形式） 设?un是严格的正项级数。并存在极限
n?118
第二章 级数敛散性判别法
limun?1?q则有
n??un?(1)如果q?1，那么级数?un收敛。
n?1?(2)如果q?1，那么级数?un发散。
n?1证明：(1)对于取定的???0,1?q?，存在n0??，使得只要n?n0，就有
un?1?q???1. un(2)对于取定的???0,q??1，存在n0??，使得只要n?n0，就有
un?1?q???1. un推论 设?un和?vn都是严格的正项级数。
n?1n?1??(1)如果级数?vn收敛，并且存在n0??，使得
n?1?unv?n,?n?n0，那么级un?1vn?1数?un 也收敛。
n?1?(2)如果级数?vn发散，并且存在n0??，使得
n?1?unv?n,?n?n0，那么级un?1vn?1数?un 也发散。
n?1?例题1 试判别级数?解：由于
n!的散敛性。 nn?1n?n??n?1?!un?1n!???1??1?n?lim?lim?/?lim?lim1/?1?????1 ????n?1?nn??un??n??n?1n???n??????n??en??n?1??由达朗贝尔定理可知，级数?n!收敛。nn?1n19
?广东石油化工学院本科毕业论文：级数敛散性总结
例题2 试判别级数?解：由于
5n的散敛性。 5n?1n?u?n?limn?1?lim5???5?1 n??un???n?1?n5n由达朗贝尔定理可知，级数?发散。
5n?1n?52.5 对数判别法
对数判别法（普通形式） 设?un是严格的正项级数。
n?1?1?un?p?1，则有级数?un收敛；若从某一项起，若从某一项起有
lnnn?1lnln1?un?1，则有级数?un发散。 lnnn?1对数判别法（极限形式） 设?un是严格的正项级数。
n?1?1??un?p，则当p?1时，级数?un收敛；当p?1时，级数?un发散；设lnnn?1n?1ln当p?1时，级数?un有可能收敛也有可能发散。
n?1?例题1 试判别级数
111??????的散敛性。 ln?2!?ln?3!?ln?n!?解：因为当n?2时，有nn?n!，所以
nlnn?lnn!
11?ln?n!?nlnn20
第二章 级数敛散性判别法
?11但由于?发散，因此级数?发散。
n?1nln?n?n?2ln?n!??1111例题2 试判别级数???????的散敛性。 33n33333333?3?3解：由题可知，un?因为
1??11???????lnn?c?n???,c为欧拉常数 2n??13111????2n
所以
un?1????3?但是
lnn?1?????3?1??1?1?????n??2?1??????? n???3?c?3n?1?1lnn??n?1?1nln3，ln3?1
则有级数??1ln3n?1n收敛，从而级数?un收敛。
n?1?1202!?20?3!?20?4!?20?例题3 试讨论级数1?????????????的散敛
2732?7?43?7?54?7?性。
解： 由题可知，级数的通项为
n?1n?1?!?20??un?n?1???????n?1,2,3?? ??234n?7?则有
un?1?n??20??????un??n?1???7?
120201??????????????1????n?n??7e?1??7?1????n?n21