第三章 级数敛散性比较及应用
第三章 级数敛散性比较及应用
3.1 基于级数类型的方法总结
对于级数的敛散性判断，当一个级数是具体属于某一种级数，则可以考虑利用该种级数对应的收敛判别法来进行判别其散敛性。而常见的几种级数和对应的判别法如下表：
表1 判别总结表
级数类型 正项级数
散敛性判别法
比较判别法、根值判别法、比值判别法、 对数判别法、拉贝判别法、高斯判别法
任意项级数
柯西判别法、绝对收敛判别法、 Abel判别法 交错收敛判别法、Dirichlet判别法
函数项级数
M判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法、 狄尼判别法、一致收敛判别法
幂级数 傅立叶级数
Abel定理、比值法、根值法
狄尼判别法、Lipschitz判别法、弗耶定理 狄里希来-约当判别法、威尔斯托拉斯逼近定理
3.1.1 对常数项级数
若给出的级数是常数项级数，一般可以利用以下的流程来进行判断：
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已给级数?un?1?n u??limun?0否？ 否 发散 是 是正项级数否？ 否 是 是否交错级数 否 是任意项级数 是 比值判别法可行？ 莱布尼茨判别法 任意项级数判别法 否 比较判别法的极限形式可行？ 是 否 比值判别法 是 否 其他方法 收敛或发散
图1 判别流程图
对于求级数的散敛性，首先要研究出其通项。但是当级数可化为含参数的一般式、通项为等差或等比式或通项为含二项以上根式的四则运算且通项极限无法求出时，可以选用正项级数的充要条件进行判断。下面通过具体的例子说明：
例题1 试判别级数?分析：容易知道un?u??1的散敛性 2n?11?n?1 21?nu??(1)首先判断limun是否为0，因为1?n2?????，所以有limun?0 n??(2)然后判断是否为正项级数，由于1?n2?1，故原级数为为正项级数 (3)因为
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11??n?1?un?11?n2lim?lim?lim?1 n??un??n??2?2n?n21n1?n22因此，比值判别法失效。
?111?(4)现在考虑比较判别法，由于0?，而级数?是收敛的，可以2221?nnn?1n根据比较判别法可知，原级数?1也收敛。 21?nn?1?3.1.2 对幂级数
若给出的级数是幂级数，一般可以利用以下的方法来进行判断： (1)首先要求出收敛域，利用式子??limn??1un?1求出收敛半径R?，从而确
?un定幂级数的收敛区间??R,R?，将x??R分别代入幂级数中，此时的幂级数就成为了常数项级数，然后就可以按照常数项的散敛性判别法判断其散敛性。
(2)很多时候可以通过一些幂级数的展开式间接的将一些函数展开成幂级数，具体如下：
x2xne?1?x????????????????,???
2!n!xx3x5x7x2n?1nsinx?x????????1?????????????,???
3!5!7!2?2n?1?x2x4x6nx2ncosx?1????????1?????????????,???
2!4!6!?2n?!x2x3nxn?1ln?x??x???????1????????????1,1?
23n?1?1?x?11?1?mx?m?m?1?x2?m?m?1??m?2?x33! 12n??????????????????m?m?1???m?n?1?x???????????1,1?n!m(3)将一个函数f?x?直接展开为x的幂级数的步骤如下：
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A．求出f?x?的各阶导数，再求出函数及各阶导数在x?0处的函数值，若某阶导数不存在，就停止进行，此时函数f?x?不能展开为x的幂级数。
B．写出f?x?在x0?0处的泰勒级数，并求出其收敛域。
C．考查在其收敛域内是否有limRn?x??0，若极限为零，则第（1）中求
n??出的幂级数就是函数f?x?的展开式，若极限不为零。则幂级数虽然收敛，但它的和并不是所给的函数f?x?。
D．最后写出f?x?在x?0点的泰勒展开式。 例题2 将函数f?x??ex展开成x的幂级数。 解：①求出f?x?的各阶导数及其在x?0处的函数值：
f'?x??ex，f''?x??ex,?,f?n??x??ex
?n?f?0??1,f'?0??1,f''?0??1,?,f ②因此f?x?在x0?0处的泰勒级数为：
1?x??0??1
121x???xn?? 2!n!其收敛半径为R???，收敛区间为???,???。 ③对任意有限数x,??0???x?余项的绝对值
xe?Rx?x???xn?1?ex?
?n?1?!?n?1?!x由比较判别法知道?收敛，又有级数收敛的必要条件有
n?1!?n?1??n?1n?1limxn?1n???n?1?!?0
而ex相对于n是一个常数，则有
xxlimRn?x??lime??0 n??n???n?1?!n?130
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④f?x??ex的泰勒级数为：
ex?1?x?121x???xn????????,??? 2!n!3.1.3 对于傅立叶级数
若是需要化为傅立叶级数，一般可以利用以下的方法来进行判断（韩志刚，2003）：
将周期函数f?x?在???,??上展开为傅立叶级数的步骤 (1)运用收敛定理判断f?x?是否满足收敛条件。 (2)若满足收敛定理条件，则求出傅立叶系数。 (3)写出傅立叶级数并注明在何处收敛于函数f?x?
例题3 设f?x?是周期为2?的周期函数，在???,??上的表达式为
?0???????????x?0 f?x????x????????0?x??将函数f?x?展开为傅立叶级数。
解：函数f?x?的图形如下，所给的函数在x??2k?1????k?Z?处不连续，而在其余点处都连续，满足收敛定理的条件。
f?x?? 3? 2? ? 0 ? 2? 3? x
图2 函数图像
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