由对数判别法可知，原级数发散。
2.6 积分判别法
柯西积分判别法：设函数f?x?在??1,???单调下降并且非负，则级数?f?n?n?1?与广义积分???1f?x?dx同为收敛或同为发散。
证明：依题意得，f?x?为?对于任意的正数A，f?x??1,???上的非负减函数，在??1,A?上可积，从而有f?n???mmmnn?1f?x?dx?f?n?1?,n?2,3?，依次相加可得
?f?n???f?x?dx??f?n?1???f?n?，若此积分收敛，则上式的左边，对于
n?21n?2n?2m?1任何的整数，有sm??f?n??f?1???f?x?dx?f?1???n?21??mm??1f?x?dx，于是级数
?f?n?收敛。反之，若级数?f?n?为收敛级数，则上式的右边，对于任意正整
n?1n?1数m?m?1?有?f?x?dx?sm?1??f?n??s，因为f?x?是非负减函数，故对任意
1n?1m?的正数A，都有0??f?x?dx?sn?s,n?A?n?1，根据上式得?1A??1 f?x?dx收敛。
同理可证级数?f?n?和积分?n?1???1f?x?dx是同时发散的。
例题1 试判别级数?解：将级数??1的散敛性。 3nn?1???11dx，由于 换成积分形式?133xn?1n?即???1??111dx??x32x2??1?1??1?11?lim?????0?? ???2p??22?2p??2??11dx收敛，根据积分判别法可知，?也收敛。33xn?1n22
第二章 级数敛散性判别法
1例题2 试判别级数?的散敛性
n?1n??11dx，由于 解：将级数?转化成积分的形式?1xnn?1???即???1??11dx?lnxx??1????0???，
?11dx发散，根据积分判别法可知，级数?发散。 xn?1n2.7拉贝判别法
拉贝判别法（普通形式）设?un是严格的正项级数。
n?1???un?（1）如果存在q?1和n0??，使得n??1??q,?n?n0，那么级数?unun?1?n?1?收敛。
??un?（2）如果存在n0??，使得n??1??1,?n?n0，那么级数?un发散。
n?1?un?1?证明：（1）由题可得
1
?pn?1n
?
unq?1?,?n?n0，取一实数p，满足1?p?q，则级un?1nvn?1np数收敛，另
p，则对于充分大的n有
?vn?1?pqun?1???1???1??O??1??，所以，级数?un也收敛。
2?vn?1?n?nnnu??n?1n?1（2）由题意得，
unun?11?11n?1??,?n?n0，因为级数?发散，所以级数
1nn?1nn?1?un?1?n也发散。
?拉贝判别法（极限形式）设?un是严格的正项级数，并且以下的极限存在，
n?123
?un?lim??1??q n??u?n?1?（1）如果q?1，那么级数?un收敛。
n?1??（2）如果q?1，那么级数?un发散。
n?1?1?3???????2n?1??，当r?1,2,3是的收敛性。 例题1：试讨论级数???2?4??????2n??n?1???r解：当s?1时，
?u?2n?1?n1?limn?1?n?1??limn?1??lim??1， ?n??n??n??un?2n?22?2n?2???1?3???????2n?1??容易根据拉贝判别法可知，级数???发散。
4???????2n??n?1?2??1当s?2时，
??2n?1?2?n?4n?3??un?1?limn?1??limn1??lim?1， ???n??????n??2n??un??2n?2????2n?2???1?3???????2n?1??发散。
容易根据拉贝判别法可知，级数???4???????2n??n?1?2??2当s?3时，
??2n?1?3?n?12n2?18n?7??un?1?3limn?1??limn1??lim??1， ???n??????n??3n??u2n?22???2n?2?n?????1?3???????2n?1??收敛。
容易根据拉贝判别法可知，级数???4???????2n??n?1?2??3从上面我们可以看出,有些比值判别法不能判别的可用拉贝判别法可以判别,但是用拉贝判别法也同样要受到比较因子的精确度的限制。
24
第二章 级数敛散性判别法
2.8高斯判别法
设?un是严格的正项级数，并设有
n?1?un???1??????o??， un?1nnlnn?nlnn?则有
(1)如果??1，那么级数?un收敛；如果??1，那么级数?un发散。
n?1n?1??(2)如果??1，??1，那么级数?un收敛；如果??1，??1，那么级数?unn?1n?1??发散。
(3)如果??1，??1，??1，那么级数?un收敛；如果??1，??1，??1，
n?1?那么级数?un发散。
n?1??推论：设?un是严格的正项级数，并设有
n?1un??1?????o??， un?1n?n2?则有
(1)如果??1，那么级数?un收敛；如果??1，那么级数?un发散。
n?1n?1??(2)如果??1，??1，那么级数?un收敛；如果??1，??1，那么级数?unn?1n?1??发散。
例题1 设x?2?0，试判别级数
11212n??????????? 2?x2?x3?x2?x3?xn?1?x的散敛性。
25
解：令un?12n??，则 2?x3?xn?1?xnun?un?1????????n?1,2,3?,u0?1?
n?1?x由此可得
?1?x?un?n??un?1?un??1?x?Sn??1?x??u1?u2?u3???un? ?????????????????u0?Sn??n?1?unxSn?1??n?1?un
但由于
?n?1?un?所以当x?0时，un?11 ????xxx1?1?1?23n?1111，级数发散；当?2?x?0是，显然有un?，故级n?1n?1数发散；当x?0时，有
?n?1?un?故?n?1?un?0?n???，所以
1xxx1?????23n?1
limSn?n??1 x11?例题2 设un?ln?ln?sinn?n?????，试讨论级数?un的散敛性。 ?n?1解：因为
un?ln1?11?1???ln???O???n??n5????n?3!n3?1??????ln11?1?1??O??3!n2??n4???11?1????????ln?1??O??n4??3!n2?11?1?????????O??3!n2??n4????????
??11故当??是，级数?un收敛；当??时，级数?un发散。
22n?1n?126