第一章 级数基本概念
?。 也是绝对收敛，且和为S?1.4.4 函数项级数
1. Cauchy准则：函数项级数?fn?z?在D一致收敛于S?z?的充分且必要条
n?1?件是： ????，??，使得当n?N时，Sn?p?z??Sn?z??z?D及一切自然数P同时成立。
?f?z???对一切
n?kk?1?p2. weierstass判别法： 设在集合G上fn?z??an?n?1,2??，且?an收敛，
n?1则?fn?z?在G上一致收敛。
n?1?1.4.5 幂级数
1. Abel定理：若?cn(z?a)n在z1?z1?a?收敛，则当z?a?z1?a时，级
n?1?数?cn(z?a)绝对收敛，若?cn(z?a)n在z2处发散，则当z?a?z2?a时，级
nn?1?n?1??数?cn(z?a)n发散。
n?1(1)幂级数在其收敛圆是内闭一致收敛的。
?1cn?1(2)比值法：若lim??，则幂级数?cn(z?a)n的收敛半径R?，这里，
n??c?n?1n当??0时，R???，当????时，R?0。
(3)根值法：limncn??，则级数?cn(z?a)n的收敛半径R?n???1n?1?
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1.4.6 傅立叶级数
1. 狄尼判别法：设f?x?连续或者至多有第一类间断点，记
s?f?x?0??f?x?0?
2??f?x?u??f?x?u??2s
若存在??0，使????u?u0du存在，则
a0????ancosnx?bnsinnx??s 2n?12. Lipschitz判别法 设f?x?在点x满足Lipa条件，即对充分小的u 有
f?x?u??f?x??Mu?（M,?为常数，0???1），则
a0?f?x?????ancosnx?bnsinnx?
2n?13. 狄里希莱-约当判别法 若f?x?在?x?h,x?h?上囿变，则在点x
f?x?0??f?x?0?a0? ???ancosnx?bnsinnx??2n?124. 弗耶定理 设f?x?是周期为2?的连续函数，Sn?x?为f?x?傅立叶级数的部分和，?n?x??于f?x?。
5. 威尔斯托拉斯逼近定理 设f?t??C?a,b?，周期为2?，则存在三角多项式列Tt?t?一致收敛于f?t?。
1?S0?x??S1?x????Sn?1?x??，则在???,???上?n?x?一致收敛n
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第二章 级数敛散性判别法
第二章 级数敛散性判别法
2.1 判别级数发散的简单方法
（注：面对一道通项有规律的判定收敛性的题时，最初的想法应该从定义下手）
定义：如果级数?un 的部分和数列?Sn?有极限，则?un收敛，反之发散。
n?1n?1??例题l 判别级数?解：因为
1的散敛性。
nn?1?n?1??un?11? nn?1故级数的部分和
N11??1Sn???????n?1?n?1n?n?1?n?1?nN1??1??11??11??1???????1????????????????，
?2??23??34??NN?1?1??????1?N?1又因为
1??limSn?lim?1???1 n??n???n?1?所以，原级数收敛。
例题2 判别级数?解：因为
NN111?1?1?1??1???2??2,?N?? ?????2nnn?1n?1nN??n?1n?2?n?2???1的散敛性 2nn?1?? 所以级数?
1收敛。 2nn?1??9
例题3 判别级数?n?1??1是否收敛。 n解：因为
?n?1N11?N?N,?N?? nN所以级数?n?1??1发散。 n2.2 比较判别法
2.2.1 定理及其极限形式
为了考查一个正项级数的散敛性，常用另一个已知是收敛的或者已知是发散的正项级数来与之作比较（可见比较判别法只用于正项级数）。
在此先引入几个常用来做比较的级数：几何级数、调和级数、P级数。 等比级数：（几何级数）判别法：级数?uqn?u?uq?uq2???uqn??(u?0)n?0?叫做等比级数，下面讨论该级数的散敛性。 解：（1）如果q?1，则部分和
Sn?u?uq?uq???uq2n?1u?uqn? 1?q?u当q?1时，由于limqn?0，所以limSn?，因此级数?uqn 收敛，其
n??n??1?qn?0和为
u； 1?q??当q?1时，由于limqn??，所以limSn??，因此级数?uqn级数?uqn发
n??n??n?0n?0散。
（2）如果q?1，则有
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第二章 级数敛散性判别法
当q?1时，Sn?nu，从而limSn??，所以级数?uqn发散；
n???n?0当q??1时，Sn?u?u?u?u??，所以有S2n?0，S2n?1?u从而limSn不存
n??在，所以级数?uqn发散；
n?0?由上可知:当q?1时，等比级数?uq收敛；而当q?1，等比级数?uqn发
nn?0n?0??散。
1111调和级数：级数1????????称为调和级数，试讨论该级数的散敛
234n性。
解：令f(x)?lnx，由拉格朗日中值定理可知，存在???N,N?1?。使得
ln?N?1??lnN?ln'?
(N?1)?N即
ln?N?1??lnN?1?1???(N为整数) N?所以有
N?1?时，ln2?ln1?11N?2?时，ln3?ln2?21N?3?时，ln4?ln3?,
3??????1N?n?时，ln2?ln1?n将上面所有式子的两端分别相加得
ln?n?1??1?111???? 23n111其中 1?????为调和级数的部分和Sn
23n因为
limSn?limln?n?1????n??n??11