第二章 固体中的应力波理论
§2.1 概述
固体中的应力波主要是研究当固体物质突然受到冲击载荷的作用时，其内部应力、应变的变 化情况。材料受到冲击载荷的例子很多，如炸药的爆炸作用、子弹、汽车的高速碰撞等。甚至我们日常生活中用锤子击打钉子时，锤子与钉子的作用，飞掷石块，石块与接触物的作用等都属于冲击载荷，只是载荷强度小些而已。
物体在冲击载荷的作用下，材料内部的运动、变形和断裂机理与静态实验的结果有很大区别。静力学理论所研究的是处于静态平衡状态下的固体介质，常规静态实验中载荷随时间的变化不显著，材料的应变率一般在10-5~10-1秒-1量级。这时可以忽略介质微元的惯性，以前我们在普通物理、材料力学、弹性力学、理论力学等学科中所接触的力学问题都属于静力学的范畴，它们在处理问题时都不考虑介质微元的惯性，不考虑随时间变化材料内部状态的变化情况。
而当物体受到冲击在和作用时，情况就不同了。冲击载荷的特征就是历时短，也就是说冲击载荷的作用时间很短，它使物体的运动参数在毫秒、微秒，甚至毫微秒的短暂时间内就发生了显著的变化。例如，子弹以102~103米/秒的速度打在靶板上，炸药与固体物体接触爆炸，在历时几个，十几个微秒的时间内，压力就升高到十几，几十万个大气压，此时，材料的应变率一般在102~105秒-1，有时甚至高达107秒-1，比静态高得多，在这样的动载荷作用下，介质微元所受的力处于随时间迅速变化着的动态过程，对此就要考虑介质微元的惯性。大量的实验表明，在应变率不同时，材料的力学性能也往往不同。通常表现为随着应变率的提高，材料的屈服极限提高（?y?）、强度极限提高（?u?）、延伸率降低（??L??LL），屈服滞后和断裂滞后等现象变得明显起来。
其原因，一个是由于介质质点的惯性作用，另一个重要因素就是材料本身的本构关系和应变率有关。从热力学角度来讲，静态条件下，应力、应变关系接近于等温过程，而高应变率条件下的动态应力、应变关系接近于绝热过程，为了研究冲击载荷作用下力的作用过程，就引入了应力波的研究。
事实上，当外载荷作用于固体介质某部分时，如图2.1所示，一开始只有那些直接受到外载荷作用的那部分介质质点离开了初始位置，远离外载荷作用点的材料的其它部分的介质质点由于惯性的作用仍位于原来的位置，并没有发生运动。因为初始质点的运动，使其与相邻介质质点之间发生了位移，这部分介质质点当然要受到相邻介质质点给与的作用力，但同时也给相邻介质质点以反作用力，
而使它们也离开初始位置而运动起来。依此类推，外载荷所引起的扰动就这样由近及远的传播出去，形成了所谓的应力波。
扰动区域未扰动区的分界面称为波阵面，扰动的传播速度称为波速。常见材料的波速在
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102~103量级，例如，钢是8300m/s、有机玻璃是2600m/s等，在应力波的学习时，我们应该注意区分波速和质点速度两个不同的概念。波速（c）是指扰动的传播速度，而质点速度(u)则是介质质点本身的运动速度。 u一般比c小得多。
如果由扰动引起的介质质点的运动速度的变化u与波速c的传播方向一致，则把这种扰动波称为纵波；如果由扰动引起的介质
点速度的变化u与波速c垂直，则称为横波。
如图2.2所示，像这样一个轴，突然施加一个图示方向的冲击力，所产生的应力波（扰动）是沿轴向传播的，也即c沿轴向，而介质质点却沿切向运动，就形成了一个横波。
纵波由法向应力引起，在法向应力应力作用下，介质微元的体积发生变化，因此纵波又称为膨胀波、法向波，体积波；横波由剪应力引起，介质微元在剪应力作用下仅发生变形，而体积不变，因此，横波由称为剪切波、等体积波或畸变波。
一切固体都具有惯性和可变形性，当受到随时间变化的外载荷作用时，它的运动过程总是一个应力的传播和相互作用过程，在静力学中只是由于载荷随时间变化的比较缓慢，可忽略或没有必要去考虑在达到静力平衡前应力波的传播和相互作用。在冲击载荷作用下，由于在与应力波传过物体长度所需时间相比是同量级或更低量级的时间尺度上，载荷已经发生了显著变化，甚至已经作用完毕，我们在研究这种载荷作用下物体的运动情况时，就必须考虑应力波的传播过程。
人们对应力波的研究已经有一百多年的历史，由线弹性波的研究发展到大变形非弹性波；由低压的弹性波和极高压的流体应力波的研究发展到弹塑性和粘塑性波；由单纯波发展到复合波；由连续波的研究发展到具有多阶间断的奇异面波的研究，如冲击波和加速波等，但由于时间的关系，我们只简单介绍一些线弹性波和冲击波的知识。
§2.2 无限介质中的瞬间弹性平面波的特性 2.2.1 弹性平面波的特性
按照波阵面的形状，可以将应力波分为平面波、球面波、柱面波等。顾名思义，平面波也就是说波阵面是一个平面。在实际形成的应力波中，平面波是很少的，但如果我们的观察区距离扰动源很远，而我们的研究范围又不大，此时，不管初始波是什么形状，我们都可以将它当作平面波来处理。
应力波的中应力的分布取决于扰动源，也就是取决于冲击载荷的性质，图2.3列举了几种瞬间应力波的形式。其中纵坐标表示压应力，横坐标表示距离。
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图2.3 各种瞬间应力波的形式
（a）方形波； （b）锯齿形波； （c）指数衰减波； （d）平顶波；
（e）平顶的指数衰减波； （f）三角形波； （g）快速上升，缓慢衰减波； （h）半正弦波
通过材料的运动方程和弹性材料的应力应变关系，我们可以推导出弹性纵波和弹性横波运动速度：
在介质材料中传播的弹性纵波的运动速度为：c1???2G ?G 在介质材料中传播的弹性剪切波的运动的速度为：c2? 式中：λ、G——拉梅常数（Lame's parameter）
G也即剪切模量；
???E?(1??)(1?2?)
E为弹性模量（亦称杨氏模量）；?为泊松比。
从弹性应力波的波速表达式可以看出：第一，弹性纵波与弹性剪切波的传播速度不同；第二，弹性应力波的波速是由材料的性质决定的，与外载荷的强度无关；亦就是说对给定的材料，弹性应力波的速度就给定了，并不随外载荷的变化而变化。
一般地说，应力波在介质中传播时，能量是有损失的。例如，冲击载荷所产生突然扰动，在持续一段时间，运动一段距离后就减弱了。所以应力波的波形在运动过程中随时间和距离也在发生着变化。
但当介质材料中传播一个弹性平面波时，如果忽略材料的粘性，内摩擦，弹性平面波在传播过程中能量没有损失，也就是说弹性平面波不管传播到介质材料的哪个部分，其应力和传播速度都不变。这是弹性平面波得很重要和独特的性质。
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如图2.4所示，一个指数衰减的弹性膨胀波在t1时刻，a、b、c处的应力为σ1、σ2、σ3，a、b、c之间的距离为λ/4和λ，经过一段时间Δt以后,应力波到达介质材料的另一处，则，a、b、c运动的距离皆为c1×Δt，a′、b′、c′处的应力仍为σ1、σ2、σ3，应力波的形状不变。
2.2.2 波的行进的描述
在应力波的运动过程中，通常用变形状态的前进速率来描述弹性平面波，如图2.5所示。这种描述是以横坐标表示距离，纵坐标表示时间。
这种描图法又称为 拉格朗日算子图解法，每根线的梯度为1/c1。
用这种方法表示发源于同一点的膨胀波与畸变波，如图2.6所示，从图中可以看出，随着时间的增加，膨胀波与畸变波的距离越拉越大。
2.2.3 质点速度的概念
当瞬间应力波通过时，材料内部质点发生运动，变形不断变化的性质是通过材料内部质点的运动来完成的。在弹性体中，应力波中任意点的质点速度与该点的即时应力成线性关系。
如图2.7所示，假定平面膨胀波的一点（可能是锯齿波的b点），它在t=t1时刻运动到MN位
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置，在t= t1+Δt时，运动到PQ位置，
Δt→0时，我们认为MN与PQ所包围的材料所处的应力水平均为σx，由于应力的不平衡，这部分材料在Δt时间内所获的冲量为：σx·s·Δt 由牛顿第二定律：介质微元所获得的动量应等于微元动量的变化量，即：
σx·s·Δt=ρ·s·Δx·Δu =ρ·s·Δt·c1·Δu σx·s·Δt=ρc1Δu 若u0=0，则 Δu=u
ux??x ?c1就是应力波通过介质时，材料质点所获得的运动速度。对膨胀波ux的方向与应力波的运动方向在同一条轴线上。
对于剪切波，同样可以证明有：
?yz??c2Vy
Vy垂直于波的运动方向。
但必须特别指出，以上应力波作用下介质质点的运动速度的计算公式仅适用于单个波作用的情况，对两个或多个波叠加时，应该考虑波的传播方向，不能简单的套用公式。
从介质质点的运动速度公式可以看出，质点速度与应力成线性关系，比例常数?c为材料密度与波速的乘积。?c一般称为材料的声阻抗，也是由材料本身所决定的一材料常数。
2.2.4 位移的概念
当一个瞬间应力波经过一种材料后，一般会在材料中留下一个永久性的位移。这明显不同于一个在平衡位置的往复运动，材料在平衡位置往复运动，当运动停止后，质点仍回复到原来位置，不产生永久性位移。但瞬间应力波的作用不同，当瞬间应力波到达物体中一点时，该点突然地开始运动，当应力波通过后，该介质点就在一种无应力状态下停下来。邻近介质质点之间不存在位移，但在这期间，在应力波的通道上，每一点都永久性的移动了。移动距离d，
d??T0u(t)dt?(1?c)?0?x(t)dtT
u(t)、?x(t)为质点速度、应力在瞬间应力波中的分布，T为应力波的持续时间。
如图2.8所示，当一个锯齿形应力波在介质中传播时，当波通过a、b、c后，a、b、c就移动
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