入射波的形式为：??(t)??be??t，同样，我们可以算出第二片剥离片的厚度d2：
d2??1???b??????ln?????c1 ?2???b??第二片剥离片的飞离速度V2
V2??t?0??(t)dt?d2
??(t)??be??t
ln??t????b?????b????
依此类推，我们可以算出d3、d4、d5、??、dn，其中n??0取整 ??对于指数衰减波从公式中可以看出：d2?d1，即对于各向同性介质，当材料中传播的是一个指数衰减波时，多层剥落片的厚度越来越厚。
2.9.3 层状材料的剥落 材料的结构对剥落模型有很大的影响，有些材料并非各向同性的，而是具有层状结构。每层的材料都相同，但为较弱的平面所隔开。许多岩石具有这种层状结构，有些金属，特别是杂质很多的轧制钢板也具有这种结构。
如果应力波的运动方向与这些层面向垂直，则剥落一般发生在薄弱层面上。 如果应力波的运动方向与这些层向平行，则剥落模型不受层面影响，与均质材料一样
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2.9.4 无粘结力材料的剥落
当应力波在土壤、粉状体、液体等无粘结力或粘结力很小的材料中传播时，在这些材料的自由面上也发生剥落现象，但因为这些材料所能承受的拉应力极小，当一有反射波产生材料就发生剥落。
任何一小片的飞离速度Vp为：
Vp?2??c
1其中，?为小片飞离自由面时入射波前的应力，?、c1为材料的密度与纵波速度，速度最大的小片是那些最先飞出去的小片，它们的速度为：
V?0?20?c
1
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第三章 应力波运动方程的解
§3.1 应力波按应力种类的分类
应力按种类可分为法向应力和剪切应力，相应地应力波也可分为法向波和剪切波。法向波是法向应力的载波，剪切波时剪切应力的载波。很多时候一个载荷往往同时产生法向和剪切两种波，但因为两种波在介质中的传播速度不同，传播一段距离后就会互相分离。
法向应力又分为压应力和拉应力，因此法向波又有压缩波和拉伸波之分。在不传递拉应力的介质，如液体、气体、松散材料，这些物质一般靠流体静压的作用而结合在一起，拉伸波使他们变稀疏，故拉伸波又称为稀疏波。
法向应力是介质微元的体积发生变化，故法向波又称为体积波；剪切应力仅使介质微元的形状发生变化，故剪切波又称为等体积波、形状波或畸变波。
此外，在法向应力和剪切应力的作用下介质微元的运动也有本质的区别，法向应力波作用介质质点的运动方向与波的传播方向一致，而剪切波的作用下介质质点的运动方向与波的运动方向垂直。故此，法向波又称为纵波或P波，剪切波则称为横波或S波。
§3.2 应力波按应力大小的分类
前面我们讲了应力波按应力种类的分类，现在我们来看看应力波按应力大小的分类。 应力波的特性，即应力波在介质中的性质和变化，首先取决于介质本身的性质，要透彻了解应力波的传播机制，必须了解介质的一般特征。
通常我们可以用???(?)来表示介质的物理、力学性质。其中?为应力、?为相对体积变形。对?压应力为正，拉应力为负；对?，体积减小为正，体积增大为负。
对于液体和气体，???(?)用图像表示出来为：对于固体，用图像表示???(?)的形式为：
图3.1 压应力和相对体积百女性之间的关系
（a）液体和气体； （b）固体
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下面，我们来确定受到冲击载荷作用时介质中纵波的传播速度的关系式。 假设一应力和介质微元速度分别为无限小量d?和du的应力波，以速度N沿流动方向传播。考察纵向应力波中单位质量横截面积上的质量流动。
设某一时间t，波到达截面AA?，该截面的密度由原来的?变为??d?，而在时间t+dt波到达截面CC?，由动量守恒定律
有： 图3.2 质量流动图示
d??dt?s???N?s?dt?du
?Ndu?d?
由质量守恒定律有：
??N?dt?s?s?(??d?)?(N?du)?dt
整理，忽略二阶小量得：
Nd???du
联立?Ndu?d?可求得：
N?d? d?又由于，比容v、密度?和相对体积变形?有如下关系：
v?1
?11dv?d()??2d?
??d???dvd?d??2? v?v?N?d??d?d? （1） ?d?我们用公式（1）来说明应力波传播中应力大小的影响。结合介质材料的???(?)关系图，对于液体、气体及含水土等，从???(?)关系图上可以看出，对应于任何一个?值，都有：
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d?d?2?0、d?d?2?0，即d?d?随着?的增大而增大，也即应力波的传播速度随着?的
增大而增大，即高压比低压传播速度快。在这种介质中，任何一种压缩波，总要转变成冲击波（即强间断波），在波阵面上压力和其它参数出现阶跃，压力在波阵面上达到最大值，然后越来越小。如果冲击波在传播过程中受到外部干扰，波阵面可再次产生，从这种意义上来说，他是稳定的冲击波。??0时的传播速度N?cz称为声速。如果介质是压力P?的预压作用，那么压力P?下的声速为：czp???(1??d?)??2，这里(d?)?是关系式???(?)在??P?时的)(d???P??d???P??1导数。
对于固体介质，从固体介质的???(?)关系图上可以看出，在压力0????A时，应力?随
?线性变化，在物理上，这个区域成为弹性区。在弹性区内d?d??cansant，即在0????A范围内，所有压力的传播速度N都相同。并等于声速N?cz。在传播过程中，
如果不受到外界干扰，压力波的剖面不发生变化。但若它的剖面因受外力干扰而发生了变化，那么它将以变化了的剖面继续传播，而不能像液体中的情形那样恢复到原来的波剖面形状。因此这种情形下只能传播不稳定的应力波。
在压力?A????B时，物质的本构关系变得不同了，即使压力变化很小，介质也发生很大的变形，固体开始表现出一定的流体的性质，这一过程在B点到达顶峰，在此区域内d?d??0、
d2?d?2?0，即d?d?随着?的增大而减小，也即应力波的传播速度随着?的增大而降低，
即高压比低压传播速度慢。在传播过程中，高压滞后于低压，形成所谓的塑性应力波。
d?当压力?B????C时，固体介质的性质变得与液体相同，此时，
但在这一区域内d?d?d2??0、
d?2?0，
d?的值比0????A区内的小，即小于声速cz。在这一区域内高压比低压
传播得快，但在高压区前还有一个弹性先驱波。
当???c时，介质的性质变得与液体完全相同，在这一区域内有：d?d??0、
d2?d?2?0，且d?d?的值大于0????A区内的值。即此区内N?cz，因此，此区为稳定
的冲击波区。
应用我们上面的分析，我们可以画出爆炸波随着传播距离的变化波剖面的变化情况。 在装药内部及其附近，爆炸波的压力很高，P???c，爆炸波以远高于声速的速度传播。随着爆炸波传播距离的增加，爆炸波波阵面上的压力迅速衰减，在某一距离处Rc?R?RB处，爆
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