s??2u(t)dt
0T当空隙合拢之后，边界情况就发生变化，边界上不再有反射波，没有反射的压缩波部分不变地通过交界面进入接收板。从图上可以看出，当有间隙存在时，对动量的传递有很大的影响，特别是对衰减很快的应力波，一个很小的间隙就可能阻断很大部分动量的传播。如果间隙足够大，其合拢的时间等于或大于冲击载荷脉冲的持续时间，则无动量传入接收板。
§2.7 边界上的非平面波前的发展
在第五节我们简单介绍了平面波在不同边界上的作用情况。但在实际应用中，平面波是比较少见的，我们遇到的根多的还是非平面波，非平面波与平面波一样，当它运动到两种不同介质交界面时，也要产生反射和透射。但非平面波的反射和透射波的形状以及波阵面上的应力分布远较平面波复杂。本节我们主要介绍球面波在自由面和两种不同介质交界面上的作用情况，其他形状的波与交界面的作用情况可以用相似的方法来自研究。 2.7.1 球面波在自由面上的反射情况 一般要追踪波前的前进，对波前上的每一个点需要两个信息，一个是它的运动方向，一个是波前的运动速度。运动方向可以用一条在观测点上垂直于波前的射线来表示；波前的运动速度根据波的性质而定，对纵波为c1，对剪切波为c2。
当曲面波与边界作用时，我们假设其波前由无数的无穷小平面单元所组成，然后每个单元与边界作用服从平面波与边界作用的规律。如果在自由面反射，新反射膨胀波将从它到达的同一角度?离开，而剪切波的反射角?为：
sin??sin??c2c1。
每一条入射射线在边界反射产生两支小反射射线，反射射线之一对应于膨胀波，另一支对应于剪切波。
如图2.23所示，一个球面波在介质中运动，它波前的任何一点运动到自由面MN时都要发生反射。
图中给出的是某一时刻反射波的情况。显然，作为膨胀波从O点到B点到
D点的时间等于膨胀波首先从O至B，然后作为剪切波从B到C。
反射膨胀波前的位置很容易确定，它在与O关于MN对称的点O?为圆心的同心圆上。反射
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剪切波的波前不是球面，作图稍微麻烦一点。最简单的办法是画几条射线并计算出波前射线走了多远：
c?BC???2c?BD
1??方向角?由：sin??c2sin?算出。 c1球面波在自由面反射时，每点处的入射能量不尽相同。反射的膨胀波与剪切的强度也不同。入射波的能量在反射膨胀波与反射剪切波中的分配按第五节所介绍的公式计算：
??R?R?I ???[(R?1)ctg2?]?I?R 球面入射波本身的能量以1/r的比率衰减，若以波前位置的粗细来表示强度的变化，就是在F点正上方反射纵波最强，反射剪切波为零。
2.7.2 球面波在两种不同介质交界面上的反射情况
当球面波运动到两种不同介质交界面时，我们仍然可以把波前当作由无数无穷小的平面单元组成，然后按照第五节所讲平面波在两种不同介质边界的倾斜入射来处理。一个球面波到达两种不同介质边界也产生四种新波，即透射纵波、透射剪切波、反射纵波、反射剪切波。
?我们主要来研究一下在c1?c1?两种条件下，反射与入射纵与c1?c1波的情况。
?时，反射波前KML与入射波前有同一曲率半径，位置的确定办法与上一小节讲的一当c1?c1样。而透射纵波的波前每一点的曲率半径是变化的，当KL的距离增加时，它变得平缓了。透射波前的位置可由公式：
sin?sin???c1c1
OB?BE???OB?BF? c1c1c127
BE?BF? c1c1知道入射角?，可以求出透射角?。已知时间，可求出OB、BF，代入上式计可求出BE，对应于不同的?，求出一系列的值，就可以画出透射波前。对透射剪切波和反射剪切波波前可以采用同样的办法画出。
?时，当c1?c1sin?sin???c1???c1??1，??arcsin?，随着?地增加?逐渐增加，sin????c1c1??当?增大到某一值时，sin???c1c?=1，?再增大，有sin??1?1，没有?角与此值对应，则此c1c1时入射波完全反射，不产生传递纵波。
发生全反射时，入射角??arcsin??c1??，当??arcsin?c1?，上部入射波沿边界的掠射
?c????c11???速度将小于c?1，因此沿边界下部的波将比上部的波跑得快，这样是的波在边界的情况发生变化，不再产生传递纵波。
§2.8 应力波与拐角的
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作用
当应力波进入由两个自由面相交所组成的拐角时，应力波在两个自由面上都要进行反射，每个自由面上都产生一个反射纵波和一个反射剪切波，反射波在运动过程中总要相遇。相遇时产生波的叠加，形成高度应力集中，应力集中的结果是常常在拐角处产生破裂。
因为反射纵波的运动速度远较反射剪切波的运动速度快，一般情况下总是反射纵波首先相互叠加，引起材料的破坏。但有时反射剪切波也可能成为破裂的主要原因，不过本节我们主要讨论反射纵波相互叠加的情况。 2.8.1 基本的几何作图
我们通过三个特定的拐角：一个锐角、一个直角、一个钝角来说明在拐角处产生的反射波的作用情况。
1）拐角为锐角
拐角?为锐角，如图2.27所示，这是在t1、t2、t3三个不同时刻，平面入射波前和与之相对应的反射波的位置，剪切波未画出。
当波运动时，两个膨胀波前开始相交，交点的轨迹线为AF，交点距入射波前的距离，随着入射波距拐角顶点的距离的减小而减小。当入射波到达顶点时，两个反射波的交点就与入射波重合。
我们来研究在拐角为锐角时，入射波、反射波之间角度的关系。记入射波前与拐角下底边的夹角为?，与另一条边的夹角为?，则两个反射波前与对应的两条边之间的夹角也为?和?。
记两个反射波的轨迹线AF与下底边的夹角为?，两反射波之间的交角为?，则我们容易知道AF平分角?（全等三角形，从AF上任一点作OO??O?F、OO???O??F，则由应力波性质可知：
OO??OO??）
对于给定拐角和入射波，?、?、?都是已知的，我们的目的是求出?和?。
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有几何原理我们可以知道：
???????? ???????180? ????????180?2? ???2??
?????2?????90
其中?和?的最大值均可取900，此时入射波与锐角的一个边成掠射。 当波前与拐角?的交平分线成正交时， ???2?90
2
??????90?? 两反射波的交叉轨迹线沿着拐角的交平分线进行运动。
2）拐角为直角
当拐角为直角时，情况与锐角就完全不同。 拐角为直角，??90，两反射波之间的夹角
0??1800?2??0。
这意味着，两个反射波的交叉是一个对头的， 沿AF线的瞬时碰撞，AF线经过拐角顶点，与拐 角底边所成的倾斜角??????90??，这是 拐角为直角的情况。 2）拐角为钝角
当拐角为钝角时，反射波叠加的过程与锐角和直角都不相同。反射波的叠加仅当入射波到达拐角顶点后才能开始。这时两个反射波的叠加点从拐角向上运动回材料中。
2.8.2 主应力的计算
应力波在拐角入射时，反射波的叠加是否引起介质材料的破坏，决定于叠加区主应力的大小及最大剪切应力的数值。如果主应力或最大剪切应力大于材料的极限应力，则材料发生破裂，否则材料不破裂。
当发生破裂时，交叉线上每一点裂纹的方向又取决于主应力或最大剪切应力的方向。如果对
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