到了a′、b′、c′处，ab=a′b′、bc=b′c′，波正通过d点，cd＞c′d′。波还没有到达e点，e点处在原来位置，没有移动。
我们来看，将一点的位移作为时间的函数，几种不同的瞬间应力波通过时，位移随时间的变化情况。
对于方形波：
u0?T?0?c1
T0
d??u(t)dt??u0dt?u0T0
对锯齿形波：
u0??0T?c1； u(t)??(t)[1??c1?t?]0tT?[1?]u0
?c1T11d??u(t)dt?u0T?u0T?u0T0 222.2.5 动量含量
如果介质材料原来是静止的，即u0=0，那么介质中任意点，在瞬间应力波到达之前没有运动，在瞬间应力波过后仍回复到静止状态，只有在应力波通过的瞬间才产生运动。这就是说弹性平面应力波的能量和动量全都携带在应力波中，在应力波的运动过程中没有损失。
我们来考察应力波中所含有的动量，将厚度为无穷小的应力波的单元中，包含在单位面积上的动量记为dM，则：dM??u(x)dx
那么，每单位面积上波的总动量为M：
M??dMdx??0??0?u(x)dx??()?(x)dx
0?1c式中，λ为波的总长度，即波长。 从这个式子中还可以得到其它关系式，如：
?x?cdMdx
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§2.3 无限介质中的球面与柱面弹性波
球面波与柱面波等非平面波的研究，有很大的实用价值，因为在实际生产中由爆炸和高度集中的冲击产生的应力波，基本上都是非平面波。非平面波的形状多样，其中比较规则、比较常用的有球面波和柱面波。集中装药爆炸在介质中形成的是球面波，条形装药爆炸在介质中形成的是近似柱面波。非平面波与平面波的不同在于球面波与柱面波在传播过程中，波的形状、波中的应力与质点速度的分布都要发生变化，一个压缩输入脉冲会迅速地发展成拉伸应力。球面波的波前应力或质点速度以1/r的比率衰减。圆柱形波的衰减比率为1离。
但非平面波与平面波并非完全没有联系，当我们要考察的区域距扰动源较远，所考察的范围不大，这是可以将球面波或柱面波近似当作平面波处理，在工程上不会出现大的误差。
非平面波的使用价值虽然很大，但遗憾的是非平面波的波动方程解起来却比较复杂，因为时间的关系，我们在本节的学习中就不定量来研究球面波与柱面波的计算问题，只要定性的了解一下球面波和柱面波作用下应力的变化情况就行了
2.3.1 在球形空洞中爆炸、按指数规律衰减的压力脉冲的球面波的应力变化
一般球形装药爆炸产生的压力脉冲在球壳的表面很迅速地突然升到高压P0，然后按指数规律衰减，用公式表达就是
r，其中r为考察点距扰动源的距
?p?0???t?p?p0eα——时间衰减常数；
t?0t?0
根据球面波的波动方程可以推出：
球面波在球壳处的应力为，径向应力：?r?p0
切向应力：????p0/(??2G) 球面波运动到任一点时的初始应力为：径向应力：?r?p0a/r 切向应力：????p0a/(??2G)r 其中，a为装药半径； r为应力波前距爆炸中心的距离。
球面波作用下，介质材料是否发生破坏，关键是看应力波作用下最大的径向、切向和最大剪切应力的大小。下面我们来研究球面波通过前后，介质材料应力的变化情况
如图2.9所示，对于球面波作用下介质材料中径向应力、切向应力与最大剪切应力随时间的变化情况，选择r?a、r=2a、r/a=∞处的应力变化情况来描述。
初始条件是：p(a,t)?p0。 即在球表面处压力保持不变，也就是说??0
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图2.9 从r=a的球形空峒产生的球面膨胀波作用下介质中的应力变化示意图 图中，为了进行比较，横坐标和纵坐标都采用无量纲量。横坐标的单位为：t??ct纵坐标分别为：(r)?r?(r?a)
aaap0、 (r)??ap0、 (r)??ap0。其中：?r为径向应力； ??为切向应力；
??为最大剪切应力。
从图（a）中可以看出，径向应力在r =a处，由于直接受外力作用，其值一直维持在?ra?p0，不随时间变化；在r =2a处，径向应力在波前到达的瞬间达到最大值，然后随时间迅速下降，在某一时间下降到最小，然后略有回升，最后趋于一个稳定值，但其应力值始终为压应力；对于无穷远点r/a=∞，径向应力也是在应力波到达的瞬间达到最大，然后随时间迅速下降，由压缩应力变为拉伸应力，在某一时刻达到最大拉伸应力，最后恢复到零值附近。
径向应力的这种变化情况是由于质点的振动引起的，其原因还是由于球面波在传播过程中波前能量不断衰减，在不同半径出质点之间的运动速度不同，指点之间有产生相对位移的趋势，而固体的刚性又阻止了这种相对位移，这样就引起质点的振动，产生了径向应力的各种变化。
图（b）表示了不同点处切向应力随时间的变化情况。从图上可以看出，所有点的切向应力都由应力波到达时的压应力随着时间变为拉应力，并在某一时刻达到最大拉伸，然后趋于一个拉伸应力值。
出现这种切向应力的变化情况可以这样理解：在应力波达到的瞬间，受应力波影响的质点产生了运动，而它外部的质点还没有发生运动，它给外部质点一个作用力，也受外部质点一个反作用力，此时质点切向所受到的是一个压应力。但应力波过后质点要向外膨胀，这样质点所受切向应力就迅速地由压变为拉。质点发生振动，最后在膨胀拉应力状态下趋于稳定。
图（c）所表示的是介质材料中最大剪切应力的变化情况，由材料力学的知识我们知道
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???(?r???)/2，总图中可以看出，在空硐表面，即r=a处，有一个很大的剪切应力值，它大
约等于0.8p0。这一点很重要，很多固体材料，往往不能承受很大的剪切应力，像岩石、素混凝土等，这些材料在球面波的作用下，容易在最大剪应力作用面上发生破坏。
与球面波相联系的位移也比较复炸，同包括振动项，也包括不振动项，位移的变化情况主要受应力的作用情况影响。 2.3.2 与柱面波相联系的应力数值
柱面波作用下介质材料应力的变化情况与球面波很相似，由于时间的关系我们就不讲了。
§2.4 波的叠加
有时一个介质在不同位置处会同时或近似同时受到冲击载荷的作用，这样在同一个物体中就会有两个或几个应力波同时传播。例如，我们爆破时，大多数时候会在同一块岩石或混凝土上打许多炮孔，当这些炮孔爆破时，他们都会各自产生一个应力波，这样在同一个介质中就有许多应力波存在。另外，一个单一的应力波在材料的边界或不同材料的交界面处要发生反射或转变，在物体中产生另一种应力波。当这些应力波相遇时，就会产生波的干涉和叠加，而应力波的叠加常常会导致介质局部高度的应力集中，引起材料的破坏。所以我们不仅要研究单个应力波作用下介质材料的应力、应变情况而且要研究出现应力叠加时材料中的应力、应变情况。 2.4.1 波的叠加原理
对于实际材料，如果要考虑材料的粘塑性时，应力的叠加是很复杂的。但对于符合胡克定律，应力与应变成线性关系的弹性体，情况就简单多了，此时应力的作用可由波的叠加原理给出。
波的叠加原理为：任何数目的力同时作用下造成的运动为这些单个的力产生的运动的矢量和。 这样对材料中的一点，只要给出了单个应力波作用的应力情况，用矢量合成法则，就可以求出几个应力波作用下的应力、应变情况。 2.4.2 平行波的叠加
应力波叠加的最简单情况就是那些干涉波的运动是平行的，这样各个同性质的应力波的应力方向都是平行的，矢量的叠加，就可以简化为代数的叠加。
如，一个陡峭波前的弹性平面压缩波，具有恒定的应力水平?0，质点速度u0，假定以速度c1向左运动。同时另一个同等应力绝对值得拉伸应力波以同一速度向右运动，当两个平行波相遇时，拉伸与压缩相互抵消，则干涉区应力水平为零。但由于两个波的质点运动方向是相同的，都是向左运动，于是干涉区内介质质点将以2u0的速度向左运动。
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