由??4k3?b?2?k3??2得?，所以y3??2x?10
5k?b?0b?10??31k?4，在第一象限，因此k2＝8；把点A的坐标代2（2）x??4或1?x?4．
【思路分析】（1）已知△BDO的面积为4，可知入y2?k21，得A（4，2）；由点A坐标可得y1?x；由点A、E坐标可得y3??2x?10；（2）由两个解x28析式y2?、y3??2x?10组成的方程组，可以求出另一个交点C的坐标（1，8），然后根据图象，找出
xy3的图象在y2的函数图象上方且y2的图象在y1的函数图象上方时的情况． 【方法规律】反比例函数图象上一点向坐标轴作垂线段，该点与垂足、原点构成的三角形面积为1k；2根据图象判断不等式的取值范围，应首先确定不等式所对应的函数，函数值大的图象在上方． 【易错点分析】不能准确观察图象，根据图象判断函数值的大小． 【关键词】反比例函数 【难度】★★★★☆ 【题型】变式题、压轴题
7．（2011重庆，22，10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函
m(m≠0)的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B的坐标为(6，n)，线段x4OA＝5，E为x轴负半轴上一点，且sin∠AOE＝．
5数y＝
(1)求该反比例函数和一次函数； (2)求△AOC的面积．
【解】(1)过A点作AD⊥x轴于点D，∵sin∠AOE＝∴在Rt△ADO中，∵sin∠AOE＝
4，OA＝5， 5
ADAD4 ＝＝， AO55∴AD＝4，DO＝OA2?DA2=3，又点A在第二象限∴点A的坐标为(－3，4)，
mm12，得4=∴m＝－12，∴该反比例函数的解析式为y＝?，
?3xx1212∵点B在反比例函数y＝?的图象上，∴n＝?＝－2，点B的坐标为(6，－2)，∵一次函数y＝kx
x6将A的坐标为(－3，4)代入y＝＋b(k≠0)的图象过A、B两点，
2???3k?b?4，?k??，∴，∴3． ??6k?b??2???b?22∴该一次函数解析式为y＝－x＋2．
3
(2)在y＝－
22x＋2中，令y＝0，即－x＋2=0，∴x=3， 33∴点C的坐标是（3，0），∴OC＝3， 又DA=4， ∴S△AOC＝
11×OC×AD＝×3×4＝6，所以△AOC的面积为6． 22m求得m的值，进而求出B的坐标，最x【思路分析】(1)利用坐标的意义先求出点的坐标，代入y＝
后求出一次函数解析式．
(2)先求点C的坐标，再根据面积的定义求△AOC的面积．
【方法规律】用待定系数法求函数解析式是最常见的方法之一．本题数形结合，运用待定系数法求得其函数解析式，利用坐标的意义求线段长度，从而求得三角形的面积．
【易错点分析】不会利用数学结合的方法分析，求不出点A的坐标．
【关键词】反比例函数，一次函数 【难度】★★★★☆ 【题型】常规题，易错题，综合题
8．（2011浙江省嘉兴，19，8分）如图，已知直线y1??2x经过点P（?2，a），点P关于y轴的对称点P′在反比例函数y2?k（k?0）的图象上． x（1）求点P′的坐标；
（2）求反比例函数的解析式，并直接写出当y2<2时自变量x的取值范围．
y 1O 1P P?P y2?x k x
【答案】（1）将P（－2，a）代入y??2x得a＝－2×(－2)＝4，∴P′（2，4）． (2) 将P′（2，4）代入y?
（第19题）
y1??2x
k8k
得4＝，解得k＝8，∴反比例函数的解析式为y?． x2x
自变量x的取值范围x<0或x>4．
【思路分析】由直线求出P点坐标，由对称求得P’的坐标，再求得反比例函数表达式．
【方法规律】本题利用了：1、两点关于y轴对称，则这两点的纵坐标相同，横坐标互为相反数．2、用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式．
【易错点分析】在求自变量x的取值范围，学生易出现漏答案的现象。 【关键词】一次函数 反比例函数 轴对称 取值范围 【推荐指数】★★★☆☆
【题型】常规题，好题，易错题，操作题
9．（2011浙江省嘉兴，23，12分）以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH．
（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD
为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；
（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC＝?（0°＜?＜90°），
① 试用含?的代数式表示∠HAE； ② 求证：HE＝HG；
③ 四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．
HAEBCHDGHDGAEBEBACDGCF（第23题图1）
F（第23题图2）
F（第23题图3）
【答案】（1）四边形EFGH是正方形． (2) ①∠HAE＝90°＋a．
在□ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD＝180°－∠ADC＝180°－a； ∵△HAD和△EAB都是等腰直角三角形，∴∠HAD＝∠EAB＝45°，
∴∠HAE＝360°－∠HAD－∠EAB－∠BAD＝360°－45°－45°－（180°－a）＝90°＋a．
②∵△AEB和△DGC都是等腰直角三角形，∴AE＝22AB，DG＝CD， 22在□ABCD中，AB＝CD，∴AE＝DG，∵△HAD和△GDC都是等腰直角三角形， ∴∠DHA＝∠CDG＝ 45°，∴∠HDG＝∠HAD＋∠ADC＋∠CDG＝90°＋a＝∠HAE． ∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA＝HD，∴△HAE≌△HDG，∴HE＝HG． ③四边形EFGH是正方形．
由②同理可得：GH＝GF，FG＝FE，∵HE＝HG（已证），∴GH＝GF＝FG＝FE，∴四边形EFGH是菱形；∵△HAE≌△HDG（已证），∴∠DHG＝∠AHE，又∵∠AHD＝∠AHG＋∠DHG＝90°，∴∠EHG＝∠AHG＋∠AHE＝90°，∴四边形EFGH是正方形．
【思路分析】（1）通过观察图形可以得出答案，
（2）①利用“两直线平行，同旁内角互补”，两个等腰直角三角形，即可算出∠HAE。 ②通过证明△HAE≌△HDG，即可证明HE＝HG。
③通过②的方法，可证GH＝GF＝FG＝FE，∠EHG＝90°，∴四边形EFGH是正方形
【方法规律】利用等腰直角三角形的特征，还有三角形全等的性质。一般这类题目是由最基础的图形到复杂的图形的一个过程，但证明方法，可能是可以类推的。
【易错点分析】对于复杂的图形，学生不能抽丝拨茧般的理出基本图形。 【关键词】等腰直角三角形 正方形 平行四边形 三角形全等 【推荐指数】★★☆☆☆
【题型】常规题，新题，操作题，阅读题
10．（2011浙江省嘉兴，24，14分）已知直线y?kx?3（k＜0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒．
（1）当k??1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）．
① 直接写出t＝1秒时C、Q两点的坐标；
② 若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值． （2）当k??3时，设以C为顶点的抛物线y?(x?m)2?n与直线AB的另一交点为D（如图2）， 4① 求CD的长；
② 设△COD的OC边上的高为h，当t为何值时，h的值最大？ yyBCBDC1OP1Q1AxO1PAx（第24题图1） （第24题图2）
【答案】（1）①C（1，2），Q（2，0）．
②由题意得：P(t，0)，C(t，－ｔ＋3)，Q(3－t，0)， 分两种情形讨论：
情形一：当△AQC∽△AOB时，∠AQC＝∠AOB＝90°，∴CQ⊥OA， ∵CP⊥OA，∴点P与点Q重合，OQ＝OP，即3－t＝t，∴t＝1.5．
情形二：当△ACQ∽△AOB时，∠ACQ＝∠AOB＝90°，∵OＡ＝OＢ＝3，∴△AOB是等腰直角三角形，∴△ACQ是等腰直角三角形，∵CQ⊥OA，∴AQ＝2CP，即t ＝2（－t ＋3），∴t＝2．∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒．
(2) ①由题意得：C(t，－由(x?t)?233t＋3)，∴以C为顶点的抛物线解析式是y?(x?t)2?t?3，
44333t?3??x?3，解得x1＝t，x2＝t?；过点D作DE⊥CP于点E，则∠DEC＝∠AOB444DECD?， AOBA＝90°，DE∥OA，∴∠EDC＝∠OAB，∴△DEC∽△AOB，∴
3?533DE?BA415∵AO＝4，AB＝5，DE＝t－（ｔ－）＝．∴CD＝??．
44AO416153?412115129?．∴S△COD＝???．∴S△COD为定值； ②∵CD＝，CD边上的高＝
165521658要使OC边上的高h的值最大，只要OC最短． 因为当OC⊥AB时OC最短，此时OC的长为
12，∠BCO＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠COP＝90°－∠BOC5＝∠OBA，又∵CP⊥OA，∴Rt△PCO∽Rt△OAB，
12?3OPOC3636OC?BO536?∴，OP＝??，即t＝，∴当t为秒时，h的值最大． BOBA2525BA525
E
【思路分析】（1）①直线AB：y??x?3，只需把x?1代入y??x?3即可求出C点，利用
OQ?OA?AQ，就可以算出Q点坐标。
②△AQC与△AOB相似，要分两种情况来考虑，∠AQC＝∠AOB＝90°和∠ACQ＝∠AOB＝90°。 （2）①过点D作DE⊥CP于点E，用t表示C 点坐标，利用两函数求交点求出D点，由△DEC∽△AOB，利用对应边即可求出CD的长度。
②由CD、CD上的高都为定值，可求出S△COD为定值，则当OC最短最短时，OC边上的高h的值最大。即求出结果。
【方法规律】本题主要考查了动点问题，相似三角形的性质以及二次函数等知识点的综合应用，弄清相关线段的大小和比例关系及分类讨论的思想是解题的关键．
【易错点分析】在求△AQC与△AOB相似时，学生易出现没有分类讨论的现象，在求最值时，可能找不到解题的关键。
【关键词】动点问题 相似三角形 二次函数 一次函数 最值 【推荐指数】★★★★★
【题型】新题，好题，难题，易错题，操作题，压轴题
11．（2011山东聊城，23，8分）如图，AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是OA的中点，CD⊥OA交
?的中点，连接OD、AE，过点D作DP∥AE交BA的延长线于点P， 半圆于点D，点E是BD（1）求∠AOD的度数；
（2）求证：PD是半圆O的切线；
【答案】（1）∵点C是OA的中点，∴OC＝
11OA＝OD，∵CD⊥OA，∴∠OCD＝90°，在Rt△OCD22中，cos∠COD＝
OC1?，∴∠COD＝60°，即∠AOD＝60°， OD2（2）证明：连接OC，点E是BD弧的中点，DE弧＝BE弧，∴∠BOE＝∠DOE＝
11∠DOB＝ (180°22－∠COD)＝60°，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，又∠EAO＋∠AEO＝∠EOB＝60°，∴∠EAO＝30°，∵
PD∥AE，∴∠P＝∠EAO＝30°，由（1）知∠AOD＝60°，∴∠PDO＝180°－(∠P＋∠POD)＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴PD是圆O的切线
【思路分析】（1）求∠AOD的度数可在Rt△OCD中利用锐角三角函数求得；（2）只要证明∠PDO＝90°即可
【方法规律】1、直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；（2）在同圆或等圆中相等的弧