所对的圆心角相等
【关键词】圆中的计算 切线的判定 【难度】★★☆☆☆ 【题型】好题
12．（2011山东聊城，24，10分）如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象交反比例函数y?图象于点A、B，交x轴于点C．
（1）求m的取值范围；
（2）若点A的坐标是（2，－4），且
4?2m（x>0）xBC1?，求m的值和一次函数的解析式； AB3
【答案】（1）因反比例函数的图象在第四象限，所以4－2m＜0，解得m＞2；（2）因点A(2，－4)
4?2m，解得m＝6，过点A、B分别作AM⊥OC于点M，BN⊥OC于2BNBC?点N，所以∠BNC＝∠AMC＝90°，又因为∠BCN＝∠AMC，所以△BCN∽△ACM，所以，因AMACBC1BC1BN1?，所以?，即?，因为AM＝4，所以BN＝1，所以点B的纵坐标为－1，因为为
AB3AC4AM4在反比例函数图象上，所以－4＝
点B在反比例函数的图象上，所以当y＝－1时，x＝8，所以点B的坐标为（8，－1），因为一次函数y＝
1??2k?b??4?k?kx＋b的图象过点A(2，－4)，B(8，－1)，所以?，解得?2，所以一次函数的解析式为y
?8k?b??1??b??51＝x－5 2【思路分析】（1）由反比例函数图象在第四象限，所以4－2m＜0即可求得m的取值范围；（2）过点A、B分别作AM⊥OC于点M，BN⊥OC于点N，根据相似三角形性质求得B点的坐标从而可求得一次函数的解析式
【方法规律】1、反比例函数y?似比
【易错点分析】对反比例函数y?k图象在第二、四象限，则k＜0；2、相似三角形的对应边的等于相xk的图象与k的关系不清从而易求错k的取值范围 x【关键词】反比例函数的图象与性质，一次函数
【难度】★★★☆☆☆ 【题型】综合题 13．（2011山东泰安，26 ，10分）如图，一次函数y＝k1x＋b的图象经过A（0，－2），B（1，0）两点，
与反比例函数y＝
k2的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为2。 x（1）求一次函数和反比例函数的表达式。
（2）在x轴上存在点P，使AM⊥PM？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由。
【答案】（1）∵直线y＝k1x＋b过A（0，－2），B（1，0） ∴?
?b??2?k1?b?0b??2 ∴? ?k?2?1∴一次函数的表达式为y＝2x－2 设M（m，n），作MD⊥x轴于点D ∵S△OBM＝2 ∴
11OB·MD＝2 ∴n＝2 22k2 ∴k2＝12 312 xOA2?＝2 OB1∴n＝4
将M（m，4）代入y＝2x－2得：4＝2m－2 ∴m＝3 ∵4＝
所以反比例函数的表达式为y＝
(2)过点M（3，4）作MP⊥AM交x轴于点P ∵MD⊥BP ∴∠PMD＝∠MBD＝∠ABO ∴taan∠PMD＝ taan∠MBD＝ taan∠ABO＝∴在Rt△PDM中，
PD＝2 ∴PD＝2MD＝8 MD∴PO＝OD＋PD＝11
∴在x轴上存在点P，使PM⊥AM，此时点P的坐标为（11，0）【思路分析】（1）设这个一次函数的解析式为y?kx?b，根据“直线y＝k1x＋b过A（0，－2），B（1，0）”，可列出关于k，b的二元一次方程组，解这个方程组就可得一次函数的解析式；根据面积求出反比例函数图象上一点的坐标，就可求出反比例函数的解析式．（2）先假定存在，作出图形，并计算可以验证是否存在.
【方法规律】考查了一次函数与反比例函数的解析式的求法．
【易错点分析】 第（2）题，有些同学常会以为不存在，而没有继续做. 【关键词】一次函数，反比例函数 【推荐指数】★☆☆
【题型】好题，难题，易错题．
14. （2011山东烟台，22，8分）
k如图，已知反比例函数y1?1（k1＞0）与一次函数y2?k2x?1(k2?0)相交于A、B两点，AC⊥x轴于
x点C. 若△OAC的面积为1，且tan∠AOC＝2 . （1）求出反比例函数与一次函数的解析式；
（2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y1的值大于一次函数y2的值？
【解】（1）在Rt△OAC中，设OC＝m.
AC∵tan∠AOC＝＝2，∴AC＝2×OC＝2m.
OC11∵S△OAC＝×OC×AC＝×m×2m＝1，∴m2＝1. ∴m＝1（负值舍去）.
22∴A点的坐标为（1，2）.
k把A点的坐标代入y1?1中，得k1＝2.
x2∴反比例函数的表达式为y1?.
x把A点的坐标代入y2?k2x?1中，得k2＋1＝2，∴k2＝1.
∴一次函数的表达式y2?x?1. （2）B点的坐标为（－2，－1）. 当0＜x＜1和x＜－2时，y1＞y2. 【思路分析】（1）由“△OAC的面积为1，且tan∠AOC＝2”可求得点A的坐标，从而利用待定系数法求出两函数的关系式. （2）联立两函数关系式，通过解方程组可求得点B的坐标；反比例函数y1的值大于一次函数y2的值时的x值，即y1在y2的上方是时，所对应图象上点的横坐标的取值范围. 注意分象限讨论.
【方法规律】此题主要考查一次函数与反比例函数，及其与方程、不等式的关系. 解答此题需全面掌握相关知识. 尤其是能够数形结合地观察图象，能从纵、横两个角度观察两函数图象的关系，知道上、下对应y值的大、小；左，右对应x值的小、大.
【易错点分析】不会数形结合地观察图象，或忽略分类讨论，从而错找或找不全（2） 题中x的取值范围.
【关键词】一次函数，反比例函数 【难度】★★★☆☆ 【题型】常规题
m（x＞0）交于点B(2，xmm1)，过点P(p，p－1)（p＞1）作x轴的平行线分别交曲线y＝（x＞0）和y＝－（x＜0）于M，N两
xx15.（2011江苏南通，28，14分）如图，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线y＝
点.
（1）求m的值及直线l的解析式；
（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA； （3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△APM？若存在，条件的p的值；若不存在，请说明理由.
【解】（1）∵点B(2，1)在双曲线y＝mx上，
∴1?m2，得m＝2.
设直线l的解析式为y＝kx＋b ∵直线l过A(1，0)和B(2，1) ∴??k?b?0?k?1?2k?b?1，解得??b??1
∴直线l的解析式为y＝x－1.
(2) 证明：当x＝p时，y＝p－1，点P(p，p－1)（p＞1）
在直线l上，如右图.
∵P(p，p－1)（p＞1）在直线y＝2上，
∴p－1＝2，解得p＝3 ∴P(3，2)
∵PN∥x轴，∴P、M、N的纵坐标都等于2
把y＝2分别代入双曲线y＝2x和y＝?2x得M(1，
，
∴
PMMN?3?11?(?1)?1，即M是PN的中点， 同理：B是PA的中点， ∴BM∥AN
∴△PMB∽△PNA.
（3）由于PN∥x轴，P(p，p－1)（p＞1）， ∴M、N、P的纵坐标都是p－1（p＞1）
把y＝p－1分别代入双曲线y＝2x（x＞0）和y＝－
2x得M的横坐标x＝2p?1和N的横坐标x＝－
2p?1∵S△AMN＝4S△APM且P、M、N在同一直线上，
∴S?AMNMNS?PM?4，得MN=4PM ?APM即
4p?1＝4p?2p?1（见（3）两幅图） 整理得：p2－p－3＝0或p2－p－1＝0
解得：p＝1?131?52或p＝2
由于p＞1，∴负值舍去
∴p＝1?131?52或2
经检验p＝1?131?52和2是原题的解，
请求出所有满足2)，N(-1，2)
（x＜0）， （其中p＞1）
∴存在实数p，使得S△AMN＝4S△APM，
1?131?5p的值为或. 22【思路分析】第（2）问发现点P其实是在射线AB上的一动点，当y=2时，点P(3，2)，这样可以发现直角三角形PAN，问题获得突破．第（3）问的关键在于“MN=4PM”，构造关于p 的方程． 【方法规律】此类问题主要考查数形结合思想、分类讨论思想．
【易错分析】主要错误有第（2）问未说明点P在直线AB上，第（3）问最主要的是漏解或未舍却负根．
【关键词】曲线，三角形的面积，相似三角形【难度】★★★★★【题型】新题，探究题，好题
16. (2011四川达州，18，6分) 给出下列命题： 命题1：直线y?x与双曲线y?1有一个交点是（1，1）； x命题2：直线y?8x与双曲线y?21有一个交点是（，4）；
2x31有一个交点是（，9）；
3x41有一个交点是（，16）；
4x命题3：直线y?27x与双曲线y?命题4：直线y?64x与双曲线y?????????????????????
（1）请你阅读、观察上面命题，猜想出命题n（n为正整数）； （2）请验证你猜想的命题n是真命题．
3【答案】解：（1）命题n：直线y?nx与双曲线y?n12有一个交点是（，n）
nx （2）将（
113222，n）代入直线y?n3x得：右边=n??n，左边=n， nn12，n）在直线y?n3x上， n∴左边=右边，∴点（
同理可证：点（
1n2，n）在双曲线y?上， nxn12有一个交点是（，n）
nx∴直线y?n3x与双曲线y?【思路分析】直线y?x；直线y?8x；直线y?27x；直线y?64x；
3所以：命题n：直线y?nx；与双曲线y?1有一个交点是（1，1）； x与直线y?8x与双曲线y?21有一个交点是（，4）；
2x31有一个交点是（，9）；
3x与直线y?27x与双曲线y?