例2：（2012四川内江12分）如果方程x?px?q?0的两个根是x1,x2，那么
2x1?x2??p,x1.x2?q,请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x的方程x?mx?n?0,(n?0),求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；
（2）已知a、b满足a?15a?5?0,b?15b?5?0,求
222ab?的值； ba（3）已知a、b、c满足a?b?c?0,abc?16求正数c的最小值。
【答案】解：（1）设关于x的方程x?mx?n?0,(n?0)的两根为x1,x2，则有：
2x1?x2??m,x1.x2?n，且由已知所求方程的两根为11x1?x2?m1111，??????。
x1x2x1x2nx1x2x1x2n11, x1x2∴
∴所求方程为x2?2?m1x??0，即nx2?mx?1?0(n?0)。 nn2（2）∵a、b满足a?15a?5?0,b?15b?5?0，
∴a、b是方程x2?15x?5?0的两根。∴a?b?15,ab??5 。
aba2?b2?a?b??2ab?a?b?152???2??2??47。 ∴??baababab?5（3）∵a?b?c?0,abc?16且c?0 ∴a?b??c,ab?∴a、b是一元二次方程x2???c?x?222216。 c16?0?c?0?的两个根， c代简，得 cx?cx?16?0?c?0? 。
2又∵此方程必有实数根，∴此方程的??0，即c??2?4?c?16?0，
c?c3?43??0。
又∵c?0 ∴c3?43?0。 ∴c?4。 ∴正数c的最小值为4。．
【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，代数式化简。 【分析】（1）设方程x?mx?n?0,(n?0)的两根为x1,x2，得出
211?m，??x1x2n111??，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答x1x2n案。
（2）根据a、b满足a?15a?5?0,b?15b?5?0，得出a、b是一元二次方程
22abx2?15x?5?0的两个根，由a?b?15,ab??5，即可求出?的值。
ba16（3）根据a?b?c?0,abc?16，得出a?b??c,ab?，a、b是一元二次方程
ccx2?c2x?16?0的两个根，再根据??0，即可求出c的最小值。
例3：（2012四川宜宾8分）某市政府为落实―保障性住房政策，2011年已投入3亿元资金用于保障性住房建设，并规划投入资金逐年增加，到2013年底，将累计投入10.5亿元资金用于保障性住房建设．
（1）求到2013年底，这两年中投入资金的平均年增长率（只需列出方程）；
（2）设（1）中方程的两根分别为x1，x2，且mx1﹣4mx1x2+mx2的值为12，求m的值． 【答案】解：（1）设到2013年底，这两年中投入资金的平均年增长率为x，
2
2
2
根据题意得：3+3（x+1）+3（x+1）=10.5。 （2）由（1）得，x+3x﹣0.5=0，
由一元二次方程根与系数的关系得，x1+x2=﹣3，x1x2=﹣0.5。 又∵mx12﹣4mx1x2+mx2=12即m[（x1+x2）﹣2x1x2]﹣4mx1x2=12， 即m[9+1]﹣4m（﹣0.5）=12，即m+5m﹣6=0，解得，m=﹣6或m=1。
【考点】一元二次方程的应用，一元二次方程根与系数的关系。
【分析】（1）方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为：
2011年、2011年和2013某市用于保障房建设资金总量=10.5亿元，
把相关数值代入求得合适的解即可。
（2）由（1）得到的一元二次方程，根据根与系数的关系求得关于m的一元二次
方程，解之即得m的值。
例4：（2012贵州黔西南14分）问题：已知方程x2+x?1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍。
解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以x=2
2
2
2
2
2
2
2
y 2?y?yy把x=代入已知方程，得??+?1=0 ?2?22化简，得：y2+2y?4=0 故所求方程为y2+2y?4=0
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为―换根法‖。请阅读材料提供的―换根法‖求新方程（要求：把所求方程化成一般形式）
（1）已知方程x2+x?2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0?a?0?有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的倒数。 【答案】解：（1）y2－y－2=0。
（2）设所求方程的根为y，则y?211（x≠0），于是x?（y≠0）。
yx2?1?11把x?代入方程ax2+bx+c=0，得a???+b?+c=0，
yy?y?去分母，得a+by+cy2=0。
若c=0，有ax2+bx=0，可得有一个解为x=0，与已知不符，不符合题意。 ∴c≠0。
∴所求方程为cy2+by+a=0（c≠0）。
【考点】一元二次方程的应用。
【分析】（1）设所求方程的根为y，则y=－x所以x=－y。
把x=－y代入已知方程，得y2－y－2=0。
（2）根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出x，代入原方程，整理即得
出所求的方程。
练习题：
1. （2004辽宁沈阳2分）请你写出一个二次项系数为1，两实数根之和为3的一元二次方程： ▲ .
2. （2005山东临沂3分）请写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且其两根互为倒数 ▲ .
3.（2002浙江杭州10分）已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为p、q，且
??p?q?p?1??5满足关系式 ?2，试求这个一元二次方程． 2??pq?pq?64. （2007江苏淮安3分）写出一个两实数根符号相反的一元二次方程： ▲ . 四、求方程中待定系数的值：已知方程两根满足某种关系，则可以利用韦达定理确
定方程中待定字母系数的值。
典型例题：
例1：（2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如果关于x的一元二次方程x+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为【 】
A．3 B．﹣3 C．13 D．﹣13 【答案】B。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】∵x1，x2是关于x的一元二次方程x+4x+a=0的两个不相等实数根，
∴x1+x2=﹣4，x1x2=a。
∴x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=x1x2﹣2（x1+x2）﹣5=a﹣2×（﹣4）﹣5=0，即a+3=0， 解得，a=﹣3。故选B。
2
2
例2：（2012湖南株洲3分）已知关于x的一元二次方程x﹣bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=﹣2，则b与c的值分别为【 】
A．b=﹣1，c=2 B．b=1，c=﹣2 C．b=1，c=2 D．b=﹣1，c=﹣2 【答案】D。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】∵关于x的一元二次方程x﹣bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=﹣2，
∴x1+x2=b=1+（﹣2）=﹣1，x1?x2=c=1×（﹣2）=﹣2。 ∴b=﹣1，c=﹣2。故选D。
例3：（2012内蒙古呼和浩特3分）已知：x1，x2是一元二次方程x+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别是【 】
A．a=﹣3，b=1b=1
【答案】D。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】∵x1，x2是一元二次方程x+2ax+b=0的两根，∴x1+x2=﹣2a，x1x2=b，
∵x1+x2=3，x1x2=1，∴﹣2a=3，b=1，解得a=?2
2
2
2
B．a=3，b=1
C．a=?33，b=﹣1D．a=?，22
3，b=1。故选D。 2例4：（2012内蒙古包头3分）关于x的一元二次方程x2?mx+5?m?5?=0的两个正实数根分别为x1，x2，且2x1+x2=7，则m的值是【 】
A.2 B. 6 C. 2或6 D . 7 【答案】B。
【考点】一元二次方程根与系数的关系，解不等式和一元二次方程。 【分析】∵方程x2?mx+5?m?5?=0有两个正实数根，
??x1+x2=m>0?m>5。 ∴?x?x=5m?5>0???12? 又∵2x1+x2=7，∴x1=7－m。
m 将x1=7－m代入方程x2?mx+5?m?5?=0，得?7? 解得m=2或m=6。
∵m>5，∴m=6。故选B。
m7m+??2???5m5=?0??。