例8：（2012湖南长沙10分）如图半径分别为m，n（0＜m＜n）的两圆⊙O1和⊙O2相交于P，Q两点，且点P（4，1），两圆同时与两坐标轴相切，⊙O1与x轴，y轴分别切于点M，点N，⊙O2与x轴，y轴分别切于点R，点H． （1）求两圆的圆心O1，O2所在直线的解析式； （2）求两圆的圆心O1，O2之间的距离d；
（3）令四边形PO1QO2的面积为S1，四边形RMO1O2的面积为S2．
试探究：是否存在一条经过P，Q两点、开口向下，且在x轴上截得的线段长为抛物线？若存在，请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
s1?s22d的
【答案】解：（1）由题意可知O1（m，m），O2（n，n），
设过点O1，O2的直线解析式为y=kx+b，则有：
?mk+b=m?k=1（0＜m＜n），解得。 ???nk+b=n?b=0∴两圆的圆心O1，O2所在直线的解析式为：y=x。 （2）由相交两圆的性质，可知P、Q点关于O1O2对称．
∵P（4，1），直线O1O2解析式为y=x，∴Q（1，4）。 如图1，连接O1Q， O2Q。 ∵Q（1，4），O1（m，m）， ∴根据勾股定理得到：O1Q??m?1?2+?m?4?2=2m2?10m+17。
又∵O1Q为小圆半径，即QO1=m，
2
∴2m2?10m+17=m，化简得：m﹣10m+17=0 ①
同理可得：n﹣10n+17=0 ②
2
由①，②式可知，m、n是一元二次方程x﹣10x+17=0 ③的两个根， 解③得：x?5?22。
∵0＜m＜n，∴m=5－22，n=5+22。 ∵O1（m，m），O2（n，n）， ∴d=O1O2=2
?m?n?2+?m?n?2=32+32=8。
（3）不存在。理由如下：
假设存在这样的抛物线，其解析式为y=ax+bx+c， ∵开口向下，∴a＜0。 如图2，连接PQ。
由相交两圆性质可知，PQ⊥O1O2。 ∵P（4，1），Q（1，4）， ∴PQ?2
?4?1?2+?1?4?2=32。
又∵O1O2=8， ∴S1?11?PQ?O1O2??32?8=122。 22又∵O2R=5+22，O1M=5－22，MR=42， ∴S2?（?O2R?O1M）?MR?121?10?42?202 2∴
s1?s22d=122?2022?8=1，即抛物线在x轴上截得的线段长为1。
∵抛物线过点P（4，1），Q（1，4），
?b=??5a+1??16a+4b+c=1?∴?，解得?。
a+b+c=4c=5+4a???∴抛物线解析式为：y=ax﹣（5a+1）x+5+4a， 令y=0，则有：ax﹣（5a+1）x+5+4a=0， 设两根为x1，x2，则有：x1+x2=
2
2
5a+15+4a，x1x2=。 aa5a+125+4a）﹣4（）=1， aa∵在x轴上截得的线段长为1，即|x1﹣x2|=1， ∴（x1﹣x2）=1，∴（x1+x2）﹣4x1x2=1，即（
2
2
化简得：8a﹣10a+1=0，解得a=2
5?17。 8可见a的两个根均大于0，这与抛物线开口向下（即a＜0）矛盾。 ∴不存在这样的抛物线。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相交两圆的性质，勾股定理，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质。
【分析】（1）根据直线过点O1（m，m），O2（n，n），利用待定系数法求出其解析式。
（2）根据P、Q关于连心线对称，求出Q点的坐标；根据勾股定理分别表示出O1Q
和O2Q，由O1Q= m和O2Q= n得到一元二次方程，求解即可得到m，n的大小；最后由勾股定理求d。
（3）假设存在这样的抛物线，其解析式为y=ax2+bx+c，因为开口向下，所以a＜0；
求出S1、S2，从而求得：s1?s22d=1，即抛物线在x轴上截得的线段长为1；根据抛物线过
点P（4，1），Q（1，4），用待定系数法求得其解析式为：y=ax2－（5a+1）x+5+4a；由抛物线在x轴上截得的线段长为1，即
|x1－x2|=1，得到关于a的一元二次方程，此方程的两个根均大于0，这与抛物线开口向下（a＜0）相矛盾，所以得出结论：这样的抛物线不存在。
练习题：
1. （2011贵州黔南4分）二次函数y??x2?2x?k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程?x2?2x?k?0的一个解x1?3，另一个解x2= ▲ ．
A、1
B、?1 C、?2
D、0
2. （2011山东潍坊3分）已知一元二次方程ax2?bx?c?0的两个实数根x1、x2满足x1＋x2＝4和x1?x2＝3，那么二次函数y?ax2?bx?c?a>0?的图象可能是【 】
A. B. C. D
3. （2011江西省B卷3分）已知二次函数y=x2+bx－2的图象与x轴的一个交点为（1，0），则它与x轴的另一个交点坐标是 【 】
A .（1，0） B.（2，0） C.（－2，0） D.（－1，0） 4. （2011广东肇庆10分）已知抛物线y?x2?mx?m2(m?0)与x轴交干A、B两点。 （1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧： （2）若
34112?? (O为坐标原点)，求抛物线的解析式； OBOA3p2（3）设抛物线与y轴交于点C，若△ABC是直角三角形．求△ABC的面积． 5.（ 2011四川泸州10分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标为 (0，)，且 ac=（1）若该函数的图象经过点（－1，－1）． ①求使y＜0成立的x的取值范围．
②若圆心在该函数的图象上的圆与x轴、y轴都相切，求圆心的坐标．
（2）经过A（0，p）的直线与该函数的图象相交于M，N两点，过M，N作x轴的垂线，垂足分别为M1，N1，设△MAM1，△AM1N1，△ANN1的面积分别为S1，S2，S3，是否存在m，使得对任意实数p≠0都有S22=mS1S3成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
2?bx?经3过A（－3，0），6. （2011湖北武汉12分）如图1，抛物线y?ax1． 4B（－1，0）两点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为M，直线y??2x?9与y轴交于点C，与直线OM交于点D.现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；
（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点.问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PEF
的内心在y轴上.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
7. （湖北黄冈、鄂州14分）如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线y=于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＞0）． （1）求b的值． （2）求x1?x2的值．
（3）分别过M，N作直线l：y=﹣1的垂线，垂足分别是 M1和N1．判断△M1FN1的形状，并证明你的结论．
（4）对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线 m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．
12x交4
一元二次方程根与系数的关系在初中数学中的应用除了上述内容外，还有许多其它应用，由于近年中考涉及不多，本文不多详谈。例如，
证明等式或不等式。
例1：如果一元二次方程ax2＋bx＋c(a≠0)的两根之比为2：3，求证：6b2＝25a c。 【分析】设一元二次方程ax2＋bx＋c(a≠0)的两根为2k，3k，应用韦达定理即可证明。 例2：已知a，b，c为实数，且满足条件：a＝6－b，c2＝ab－9，求证a=b。 【分析】由已知得a＋b＝6，ab＝c2＋9。
根据韦达定理的逆定理知，以a，b是一元二次方程x2－6x＋c2＋9＝0的两个根。 由a，b为实数知此方程有实根得????6??4?c2?9???4c2?0?c2?0?c?0。
2
从而△＝0，即这表明方程x2－6x＋c2＋9＝0有两个相等实根，即有a=b，
求解具有对称性质的方程（组）。
例1：解方程?6x?7??3x?4??x?1??6。
【分析】原方程可变形为由?6x?7??6x?8??6x?6??72。
令?6x?7?＝A，?6x?8??6x?6?=B。则A＋（－B）=1， A（－B）=－72。 由韦达定理逆定理知，以A，－B是一元二次方程z2－z－72＝0的两个根。 解方程即可得解。 例2：解方程
2222?x2?1?x?1?6?x?1?x2?1?7。
【分析】从方程特点，方程可用换元法求解，但若把方程看着两个数的和，则可发现
2?x2?1?6?x?1?2?x2?1?6?x?1?和2是是一元二次方程z2－7z＋12＝0的两?2?12，所以
x?1x?1x?1x?1个根。解方程即可得解。
?x?y?1例3：：解方程组?2。 2?x?y?5