由题意得（k﹣1）x1+（k+2）=2kx1（*），
将（*）代入（k﹣1）x1+2kx2+k+2=4x1x2中得：2k（x1+x2）=4x1x2。 又∵x1+x2=
2
2
2kk+22kk+2，x1x2=，∴2k?=4?， k?1k?1k?1k?1123）+，且22解得：k1=﹣1，k2=2（不合题意，舍去）。∴所求k值为﹣1。 ②如图，∵k1=﹣1，y=﹣2x+2x+1=﹣2（x﹣
﹣1≤x≤1，
由图象知：当x=﹣1时，y最小=﹣3；当x=∴y的最大值为
2
13时，y最大=。 223，最小值为﹣3。 2【考点】抛物线与x轴的交点，一次函数的定义，一元二次方程根的判别式和根与系数物关系，二次函数的最值。
【分析】（1）分两种情况讨论，当k=1时，可求出函数为一次函数，必与x轴有一交点；当k≠1时，函数为二次函数，若与x轴有交点，则△≥0。
（2）①根据（k﹣1）x1+2kx2+k+2=4x1x2及根与系数的关系，建立关于k的方程，
求出k的值。②充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值。
例5：（2012湖北黄石10分）已知抛物线C1的函数解析式为y?ax?bx?3a(b?0)，
若抛物线C1经
过点(0,?3)，方程ax2?bx?3a?0的两根为x1，x2，且x1?x2?4。
（1）求抛物线C1的顶点坐标. （2）已知实数x?0，请证明：x?22
11≥2,并说明x为何值时才会有x??2. xx1my,)（3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设A(B(n,y2)
，
是C2上的两个不同点，且满足： ?AOB?900，m?0，n?0.请你用含有m的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式。 （参考公式：在平面直角坐标系中，若P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则P，Q两点间的距离
(x2?x1)2?(y2?y1)2）
【答案】解：（1）∵抛物线过（０,－３）点，∴－3a＝－３。∴a＝１ 。
∴ｙ＝x2＋bx－３
∵x2＋bx－３=０的两根为x1，x2且x1?x2?4，
∴x1?x2?(x1?x2)2?4x1x2=b2+12＝４且b＜０。∴b＝－２。 ∴ｙ＝x2?２x?３＝?x?１??４。 ∴抛物线Ｃ１的顶点坐标为（１，－４）。 （2）∵x＞０，∴x?∴x?211?2?(x?)?0 xx1?2。 x1x=0时，即当x＝１时，有x?当x?1?2。 x（3）由平移的性质，得C2的解析式为：y＝x2 。
∴Ａ(m，m2)，B（n，n2）。
∵ΔAOB为直角三角形，∴OA2＋OB2=AB2。 ∴m2＋m4＋n2＋n4＝（m－n）2＋（m2－n2）2， 化简得：m n＝－１。 ∵ＳΔAOB=OA?OB=121m2?m4?n2?n4，m n＝－１， 2＝
∴Ｓ
ΔAOB
1112?m2?n2?2?m2?222m＝
111?1?1(m?)2??m????2?1。 2m2?m?2∴ＳΔAOB的最小值为１，此时m＝１,Ａ(１,１)。 ∴直线OA的一次函数解析式为ｙ＝x。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质，不等式的知识。
【分析】（1）求抛物线的顶点坐标，即要先求出抛物线的解析式，即确定待定系数a、b的值．已知抛物线图象与y轴交点，可确定解析式中的常数项（由此得到a的值）；然后从方程入手求b的值，题目给出了两根差的绝对值，将其进行适当变形（转化为两根和、两根积的形式），结合根与系数的关系即可求出b的值。
（2）将x?1配成完全平方式，然后根据平方的非负性即可得证。 x（3）结合（1）的抛物线的解析式以及函数的平移规律，可得出抛物线C2的解析
式；在Rt△OAB中，由勾股定理可确定m、n的关系式，然后用m列出△AOB的面积表达式，结合不等式的相关知识可确定△OAB的最小面积值以及此时m的值，从而由待定系数法确定一次函数OA的解析式。
别解：由题意可求抛物线C2的解析式为：y＝x2。
∴Ａ(m，m2)，B（n，n2）。
过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D， 则S?S梯形ACDB?S?AOC?S?BOD
111?(m2?n2)(m?n)?m?m2?n?n2222 1??mn(m?n)2n2?nBDOD由△BOD∽△OAC得 ，即?2。∴mn??1。 ?mmOCAC∴S??11?1?1mn(m?n)=?m+???2?1。 22?m?2∴ＳΔAOB的最小值为１，此时m＝１,Ａ(１,１)。 ∴直线OA的一次函数解析式为ｙ＝x。
例6：（广东广州14分）已知关于x的二次函数y?ax2?bx?c?a?0?的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0） （1）求c的值； （2）求a的取值范围；
（3）该二次函数的图象与直线y＝1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜a＜1时，求证：S1﹣S2为常数，并求出该常数．
【答案】解：（1）把C（0，1）代入二次函数y?ax2?bx?c得：1＝0＋0＋c，解得：c＝1。
∴c的值是1。
（2）由（1）二次函数为y?ax2?bx?1，把A（1，0）代入得：0＝a?b＋1， ∴b＝－1－a。
∵二次函数为y?ax2?bx?1与x轴有两个交点， ∴ 一元一次方程ax2?bx?1=0根的判别式?＞0，即 ??1?a??4a=a2?2a?1＝?a?1?＞0， ∴a≠1且a＞0。 ∴a的取值范围是a≠1且a＞0。 （3）证明：∵0＜a＜1，
∴B在A的右边，设A（1，0），B（xb，0），
2 ∵ax???1?a?x?1=0
22 由根与系数的关系得：1＋xb＝ ∴AB＝
1+a1x=，∴b。
aa11?a?1?。 aa 把y＝1代入二次函数得：ax2???1?a?x?1=1解得：x1＝0，x2＝错误！未找到引用源。，
∴CD＝错误！未找到引用源。。
过P作MN⊥CD于M，交x轴于N，则MN⊥x轴，
1?aPMPMCD＝a 。 ∵CD∥AB，∴△CPD∽△BPA。∴，即＝1?PM1?aPNABa1?a1?a。∴PN＝ 。 221111?a1?a11?a1?a ∴ S1?S2＝CD?PM?AB?PN＝?????＝1。
222a22a2 解得，PM＝ 即不论a为何值，S1－S2的值都是常数。这个常数是1。
【考点】二次函数综合题，解一元一次方程，解二元一次方程组，根的判别式，根与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）把C（0，1）代入抛物线即可求出c。
（2）把A（1，0）代入得到0＝a?b＋1，推出b＝－1－a，求出方程ax2?bx?1=0的?的值即可。
（3）设A（1，0），B（xb，0），由根与系数的关系求出AB错误！未找到引用源。，把y＝1代入抛物线得到方程ax2???1?a?x?1=1，求出方程的解，进一步求出CD过P作MN⊥CD于M，交x轴于N，根据△CPD∽△BPA，求出PN、PM的长，根据三角形的面积公式即可求出S1－S2的值即可。
例7：（2011黑龙江大庆8分）已知二次函数y?ax2?bx?b(a?0,b?0))图象顶点的纵坐 b
标不大于－．
2
(1)求该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围；
(2)若该二次函数图象与x轴交于A、B两点，求线段AB长度的最小值．
b4ab?b2【答案】解：（1）∵y?ax?bx?b(a?0,b?0)图象顶点坐标为（,），
4a2ab4ab?b2b由已知得?3。 ?? ，解得
4a22a2∴该二次函数图像顶点的横坐标的取值范围是不小于3。
（2）设A(x1 , 0) , B(x2 , 0)(x1?x2)，则x1，x2是方程ax2?bx?b=0的两个根。
∴x1+x2=，x1?x2=∴
bab。 aAB?x2?x1??x2?x1?2=?x2+x1?2bbb?4x2?x1=?()2?4()?(?2)2?4。
aaa由（1）可知
b?6。 a由于当
bbb?6时，随着的增大，(?2)2?4也随着增大
aaa∴当
b=6时，线段AB的长度的最小值为23。 ab?3，2a【考点】二次函数的性质，二次函数和x轴的交点与一元二次方程的关系，韦达定理。 【分析】（1）先求出y?ax2?bx?b(a?0,b?0)的顶点的纵坐标，根据题意得出 即可得出该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围。
（2）设A(x1 , 0) , B(x2 , 0)(x1?x2)，则x1，x2是方程ax2?bx?b=0的两个根，由
韦达定理，根据AB?x2?x1求出线段AB长度的最小值。