例5：（2012山东威海3分）若关于x的方程x2+?a?1?x+a2=0的两根互为倒数，则a= ▲ . 【答案】－1。
【考点】一元二次方程根与系数的关系，倒数。
【分析】∵关于x的方程x2+?a?1?x+a2=0的两根互为倒数，∴设两根为x和
1。 x?1x+=1?a??x 则根据一元二次方程根与系数的关系，得?。
1?x?=a2??x1 由x?=a2得a=?1。
x1 但当a=1时，x+=1?a无意义。
x ∴a=－1。
例6：（2012湖北孝感12分）已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0．
(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
(2)若x1、x2是原方程的两根，且|x1－x2|＝22，求m的值和此时方程的两根． 【答案】解：（1）证明：由关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0得
△=（m+3）2－4（m+1）=（m+1）2+4， ∵无论m取何值，（m+1）2＋4恒大于0， ∴原方程总有两个不相等的实数根。
（2）∵x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2=－（m+3），x1?x2=m+1。
∵|x1－x2|＝22， ∴（x1－x2）2=8，即（x1＋x2）2－4x1x2=8。 ∴[－（m+3）]2－4（m+1）=8，即m2＋2m－3=0。 解得：m1=－3，m2=1。
当m=－3时，原方程化为：x2－2=0，解得：x1=2 ，x2=－2。 当m=1时，原方程化为：x2＋4x＋2=0，解得：x1=－2+2 ，x2=－2
－2。
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。
【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0的根的判别式△=b2－4ac
的符号来判定该方程的根的情况。
（2）根据根与系数的关系求得x1＋x2和x1?x2，由已知条件|x1－x2|＝22平方后可
以得到关于x1＋x2和x1?x2的等式，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值，最后将m值代入原方程并解方程。
例7：（2012湖南怀化10分）已知x1,x2是一元二次方程(a?6)x2?2ax?a?0的两个实数根.
（1）是否存在实数a，使?x1?x1x2?4?x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；
（2）求使(x1?1)(x2?1)为负整数的实数a的整数值. 【答案】解：（1）成立。
∵x1,x2是一元二次方程(a?6)x2?2ax?a?0的两个实数根， ∴由根与系数的关系可知，x1x2?a2a； ，x1?x2??a?6a?6∵一元二次方程(a?6)x2?2ax?a?0有两个实数根， ∴△=4a2－4（a－6）?a≥0，且a-6≠0，解得，a≥0，且a≠6。 由?x1?x1x2?4?x2得x1x2?4?x1?x2，即解得，a=24＞0，且a－6≠0。
∴存在实数a，使?x1?x1x2?4?x2成立，a的值是24。 （2）∵(x1?1)(x2?1)=x1x2?x1?x2?1=a2a。 ?4?a?6a?6a2a6， ??1=?a?6a?6a?6∴当(x1?1)(x2?1)为负整数时，a－6＞0，且a－6是6的约数。 ∴a－6=6，a－6=3，a－6=2，a－6=1。∴a=12，9，8，7。 ∴使(x1?1)(x2?1)为负整数的实数a的整数值有12，9，8，7。
【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，解分式方程。 【分析】根据根与系数的关系求得x1x2?的判别式求得a的取值范围。
（1）将已知等式变形为x1x2=4+（x2+x1），即
a2a；根据一元二次方程的根，x1?x2??a?6a?6a2a，通过解该关于a的?4?a?6a?6
方程即可求得a的值；
（2）根据限制性条件―（x1+1）（x2+1）为负整数‖求得a的取值范围，然后在取值
范围内取a的整数值。
例8：（2011四川南充8分）关于的一元二次方程x+2x+k+1=0的实数解是x1和x2． （1）求k的取值范围；
（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．
【答案】解：（1）∵方程有实数根，∴△=2﹣4（k+1）≥0，解得k≤0。
∴k的取值范围是k≤0。
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1， ∴x1+x2﹣x1x2=﹣2﹣（k+1）。 由﹣2﹣（k+1）＜﹣1，解得k＞﹣2。 又由（1）k≤0，∴﹣2＜k≤0。 ∵k为整数，∴k的值为﹣1和0。
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解一元一次不等式组。
【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△=b﹣4ac≥0，从而求出实数k的取值范围。
（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1．再代入所给不
等式即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值。 例9：
22
2
练习题：
1. （2011湖南株洲3分）孔明同学在解一元二次方程x2?3x?c?0时，正确解得x1?1，
x2?2，则c的值为 ▲ ．
2. （2011湖北孝感10分）已知关于x的方程x2?2(k?1)x?k2?0有两个实数根x1，x2，
（1）求k的取值范围；
（2）若x1?x2?x1?x2?1，求k的值。
3. （2012湖北鄂州8分）关于x的一元二次方程x2?(m?3)x?m2?0。
（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且｜x1｜=｜x2｜－2，求m的值及方程的根。 4.（ 2012四川南充8分）关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1=0的两个实数根分别为x1,x2。
（1）求m的取值范围；
（2）若2（x1+x2）+ x1x2+10=0．求m的值。
5.（ 2011四川达州3分）已知关于x的方程x﹣mx+n=0的两个根是0和﹣3，则m= ▲ ，n= ▲ 。
6. （2011四川泸州2分）已知关于x的方程x+（2k+1）x+k﹣2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为 ▲ 。
7. （2011四川乐山10分）题甲：已知关于x的方程x?2(a?1)x?a?7a?4?0的两根为x1、x2，且满足x1?x2?3x1?3x2?2?0.求(1?222
22
4a?2的值。 )?2a?4a8. （2006北京市7分）已知：关于x的方程mx2?14x?7?0有两个实数根x1和x2，关于y的方程y2?2?n?1?y?n2?2n?0有两个实数根y1和y2，且－2≤y1＜y2≤4．当
26??2（2y1?y22）?14?0 x1?x2x1?x2时，求m的取值范围。
9. （2006四川凉山6分）已知：x2+a2x+b=0的两个实数根为x1、x2；y1、y2是方程y2+5ay+7=0的两个实数根，且x1－y1=x2－y2=2．求a、b的值。
五、在平面几何中的应用：在平面几何中，①两圆外切，两圆圆心距离等于两圆半
径之和；②勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方的应用，可以与一元二次方程根与系数的关系相结合命题。
典型例题：
例2：（2003江苏镇江6分）已知，如图，Rt△ABC中，∠ACB=900，AB=5，两直角边AC、BC的长是关于x的方程x??m?5?x?6m?0的两个实数根。
2（1）求m的值及AC、BC的长（BC>AC）
（2）在线段BC的延长线上是否存在点D，使得以D、A、C为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出CD的长；若不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）设方程x??m?5?x?6m?0的两个根分别是x1、x2。
2∴x1+x2=m+5，x1?x2=6m。
22（x1?x2）?2x1x2?（m?5）?2?6m 。 ∴x12?x22?∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5， ∴x12?x22?AB2。
2∴（m?5）?2?6m?52，∴m2-－m=0。∴m=0或m=2。
当m=0时，原方程的解分别为x1=0，x2=5，但三角形的边长不能为0，
所以m=0舍去；