当m=2时，原方程为x2－7x+12=0，其解为x1=3，x2=4，所以两直角边
AC=3，BC=4。
∴m=2，AC=3，BC=4。 （2）存在。
已知AC=3，BC=4，AB=5，欲使以△AD1C
为顶点的三角形与△ABC相似，
则
ABACBC。 ??AD1CD1AC349?，则CD1=。 CD134ABBCAC??。 AD2CD2AC∴
欲使以△AD2C为顶点的三角形与△ABC相似，则∴BC=CD2=4。
综上所述，在线段BC的延长线上是存在点D，使得以D、A、C为顶点
的三角形与△ABC相似，CD的长为或4。
【考点】相似三角形的判定，根与系数的的关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理。 【分析】（1）先利用根与系数的关系与勾股定理求出m的值，再代入m的值求出AC、BC的长。
（2）根据相似三角形的性质来解答此题，利用相似比即可求出CD的长。
94练习题：
1. （2012山东潍坊3分）已知两圆半径r1、r2分别是方程x2—7x+10=0的两根，两圆的圆心距为7，则两圆的位置关系是【 】． A．相交 B．内切 C．外切 D．外离
2. （2006四川广安8分）已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2－（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5．试问：k取何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
3. （2002江苏无锡9分）已知：如图，⊙O的半径为r，CE切⊙O于C，且与弦AB的延长线交于点E，CD⊥AB于D．如果CE=2BE，且AC、BC的长是关于x的方程
x2?3?r?2?x?r2?4?0的两个实数根．
求：（1）AC、BC的长；（2）CD的长．
4. （2002湖南益阳10分）巳知：如图，在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的半圆交AB于点E，与AC切于点D．当AD2?AE2?5时，AD、AE（AD＞AE）是关于x的方程x2－（m－1）x＋m－2=0（m≠0）的两个根． （1）求实数m的值；
（2）证明：CD的长度是无理方程2x?1?x?1的一个根；
（3）以B点为坐标原点，分别以AB、BC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，求过A、B、D三点且对称轴平行于y轴的抛物线的解析式．
5. （2010湖南株洲3分）两圆的圆心距d=5，它们的半径分别是一元二次方程x2-5x+4=0的两个根，这两圆的位置关系是 ▲
七、在二次函数中的应用：一元二次方程ax2＋bx＋c(a≠0)可以看作二次函数y＝ax2
＋bx＋c(a≠0)当y＝0时的情形，因此若干二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与ｘ轴交点的综合问题都可以用韦达定理解题。
典型例题：
例1：（2012天津市3分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论： ①x1=2，x2=3； ②m>?；
③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）． 其中，正确结论的个数是【 】 （A）0 （B）1 （C）2
（D）3
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例2：（2012甘肃兰州10分）若x1、x2是关于一元二次方程ax2＋bx＋c(a≠0)的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1＋x2＝?bc，x1?x2＝．把它称为一元aa二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0)．利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：AB＝|x1－x2|＝?x1+x2?22?b?4cb?4ac?4x1x2=????= 2aaa??2b2?4ac=。
a参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．
(1)当△ABC为直角三角形时，求b2－4ac的值； (2)当△ABC为等边三角形时，求b2－4ac的值．
【答案】解：（1）当△ABC为直角三角形时，
过C作CE⊥AB于E，则AB＝2CE。
∵抛物线与x轴有两个交点，△＝b2－4ac＞0， 则|b2－4ac|＝b2－4ac。
b2?4acb2?4ac=∵a＞0，∴AB=。 aa4ac?b2b2?4acb2?4acb2?4ac=又∵CE=，∴。 =2?4a4aa4a∴b2?4ac=b?4ac，即b2?4ac=22?b2?4ac4?2。
∵b2－4ac＞0，∴b2－4ac＝4。
（2）当△ABC为等边三角形时，由(1)可知CE＝3AB， 2b2?4ac3b2?4ac∴。 =?4a2a∵b2－4ac＞0，∴b2－4ac＝12。
【考点】抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，等腰三角形的性质，等边三角形的性质。 【分析】（1）当△ABC为直角三角形时，由于AC＝BC，所以△ABC为等腰直角三角形，
b2?4ac过C作CE⊥AB于E，则AB＝2CE．根据本题定理和结论，得到AB=，根据顶a4ac?b2点坐标公式，得到CE=，列出方程，解方程即可求出b2－4ac的值。
4a（2）当△ABC为等边三角形时，解直角△ACE，得CE＝解方程即可求出b2－4ac的值。
3AB，据此列出方程，2
例3：（2012广东梅州10分）（1）已知一元二次方程x+px+q=0（p﹣4q≥0）的两根为x1、x2；求证：x1+x2=﹣p，x1?x2=q．
（2）已知抛物线y=x+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（﹣1，﹣1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d取得最小值，并求出最小值．
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例4：（2012湖北荆州12分）已知：y关于x的函数y=（k﹣1）x﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x1+2kx2+k+2=4x1x2． ①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值．
【答案】解：（1）当k=1时，函数为一次函数y=﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点。
当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点， 令y=0得（k﹣1）x﹣2kx+k+2=0．
△=（﹣2k）﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1。 综上所述，k的取值范围是k≤2。 （2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1。
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