第五章 两自由度系统振动
§5-1 概述
单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。
两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。
所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。①汽车动力学模型：
图3.1 两自由度汽车动力学模型
§5-2 两自由度系统的自由振动
一、系统的运动微分方程
②以图3.2的双弹簧质量系统为例。设弹簧的刚度分别为k1和
k2，质量为m1、m2。质量的位移分别用x1和x2来表示，并以静平衡位
置为坐标原点，以向下为正方向。
(分析)在振动过程中的任一瞬间t，m1和m2的位移分别为x1及x2。此时，在质量m1上作用有弹性恢复力k1x1及k2?x2?x1?，在质量m2上作用有弹性恢复力k2?x2?x1?。这些力的作用方向如图所示。
应用牛顿运动定律，可建立该系统的振动微分方程式：
?1?k1x1?k2?x2?x1??0?m1?x? （3.1）
?2?k2?x2?x1??0m2?x?令
k1?k2k2k2a?,b?,c?m1m1m2
则（3.1）式可改写成如下形式：
?1?k1x1?k2?x2?x1??0?m1?x?
?2?k2?x2?x1??0m2?x???1?ax1?bx2?0?x???2?cx1?cx2?0? （3.2） x这是一个二阶常系数线性齐次联立微分方程组。
(分析)在第一个方程中包含?bx2项，第二个方程中则包含
?cx1项，称为“耦合项”（coupling term）。这表明，质量m除受
1
到弹簧k1的恢复力的作用外，还受到弹簧 k2的恢复力的作用。m2虽然只受一个弹簧k2恢复力的作用，但这一恢复力也受到第一质点m1位移的影响。我们把这种位移之间有耦合的情况称为弹性耦合。若加速度之间有耦合的情况，则称之为惯性耦合。 二、固有频率和主振型
[创造思维：]从单自由度系统振动理论得知，系统的无阻尼自由振动是简谐振动。我们也希望在两自由度系统无阻尼自由振动中找到简谐振动的解。因此可先假设方程组（3.2）式有简谐振动解，然后用待定系数法来寻找有简谐振动解的条件。
设在振动时，两个质量按同样的频率和相位角作简谐振动，故可设方程组（3.2）式的特解为：
x1?A1sin??nt????? （3.3）
x2?A2sin??nt????其中振幅A1与A2、频率?n、初相位角?都有待于确定。对（3.3）式分别取一阶及二阶导数：
2?1?A1?ncos??nt???;??1??A1?nxxsin??nt??????（3.4） 2?2?A2?ncos??nt???;??2??A2?nsin??nt????xx?将（3.3）、（3.4）式代入（3.2）式，并加以整理后得：
?a???A?bA?0??? （3.5）
?cA??c???A?0??2n1212n2上式是A1、A2的线性齐次代数方程组。A1、A2=0显然不是我们所要的振动解，要使A1、A2有非零解，则（3.5）式的系数行列式必须等于零，即：
a???c将上式展开得：
4n2n?b2c??n = 0
???a?c???c?a?b??0 （3.6）
2n解上列方程，可得如下的两个根：
?2n1,2a?c?a?c??????c?a?b?2?2?a?c?a?c??????bc2?2?22 （3.7）
由此可见，（3.6）式是决定系统频率的方程，故称为系统的频率方程（frequency equation）或特征方程（characteristic equation）。特征方程的特征值（characteristic value）即频率?n只与参数a，b，c有关。而这些参数又只决定于系统的质量m1，m2和刚度k1，k2，即频率?n只决定于系统本身的物理性质，故称
?n为系统的固有频率。两自由度系统的固有频率有两个，即
?n1和?n2，且?n1??n2，把?n1称为第一阶固有频率（first
order natural circular frequency） [基频] 。?n2称为第二阶固有频率（second order natural circular frequency）。[（推广）
2?理论证明，n个自由度系统的频率方程是n的n次代数方程，在无
阻尼的情况下，它的n个根必定都是正实根，故主频率的个数与系统的自由度数目相等。]
将所求得的?n1和?n2代入（3.5）式中得：
2?1??a??nA2c1?1??1???2?A1bc??n1??2?2?a??n2A2c? （3.8）
?2??2???2?A1bc??n2?