?1??1?A式中：1,A2——对应于?n1的质点m，m的振幅；
1
2
A1,A2?2??2?——对应于?n2的质点m1，m2的振幅。
由此可见，对应于?n1和?n2，振幅A1与A2之间有两个确定的比值。称之为振幅比（amplitude ratio）。
将（3.8）式与（3.3）式联系起来可以看出，两个m1与m2任一瞬间位移的比值x2x1也是确定的，并且等于振幅比A2A1。系统的其它点的位移都可以由x1及x2来决定。这样，在振动过程中，系统各点位移的相对比值都可以由振幅比确定，也就是振幅比决定了整个系统的振动形态。因此，我们将振幅比称为系统的主振型（principal mode），也可称为固有振型（natural mode）。其中：
?1——第一主振型，即对应于第一主频率?n1的振幅比；
?2——第二主振型，即对应于第二主频率?n2的振幅比。
当系统以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动时，即称为系统的主振动（principal vibration）。所以，第一主振动为：
x1?1??A1?1?sin??n1t??1??1?x2??? （3.9） ?1??1??A2sin??n1t??1???1A1sin??n1t??1???第二主振动为：
x1?2??A1?2?sin??n2t??2??2?x2??? （3.10） ?2??2??A2sin??n2t??2???2A1sin??n2t??2???为了进一步研究主振型的性质，可以将（3.7）式改写成如下形
式：
2?因为 n1,2a?c??2?a?c????bc ?2?2所以2?a?c?a?c??2?a??n????bc?1?a??2??2???a?c?a?c??????bc2?2?2
2a??因为上式的等式右边恒大于零，所以n1?0，由（3.8）
式知，?1?0
2a??n22?a?c?a?c???a??????bc?2??2????又因为a?c?a?c??????bc2?2?2
2a??因为上式的等式右边恒小于零，所以n2?0，由（3.8）
式知，?2?0。
?1??0表示A1?1?和A2的符号相同，即第一主
(说明)由此可见，?1振动中两个质点的相位相同。因此，若系统按第一主振型进行振动的话，两个质点就同时向同方向运动，它们同时经过平衡位置，又同时达到最大偏离位置。而?2?0，则表示第二主振动中两个质点的相
位相反，永远相差180°。当质量m1到达最低位置时，质量m2恰好到达最高位置。它们一会相互分离，一会又相向运动，这样，在整个第二主振动的任一瞬间的位置都不改变。这样的点称为“节点”（nodal
point）。
“节点”
图3.3 两自由度系统的主振动与主振型
振动理论证明，多自由度系统的i阶主振型一般有i－1个节点。这就是说，高一阶的主振型就比前一阶主振型多一个节点。阶次越高的主振动，节点数就越多，故其相应的振幅就越难增大。相反，低阶的主振动由于节点数少，故振动就容易激起。所以，在多自由度系统中，低频主振动比高频主振动危险。 三、系统对初始条件的响应
[思维方式：]前面分析了两自由度系统的主振动，而这些主振动又都是简谐振动。但两自由度系统在受到干扰后出现的自由振动究竟是什么形式呢？这要取决于初始条件。
从微分方程的理论来说，两阶主振动只是微分方程组的两组特解。而它的通解则应由这两组特解相叠加组成。从振动的实践来看，两自由度系统受到任意的初干扰时，一般来说，系统的各阶主振动都要激发。因而出现的自由振动应是这些简谐振动的合成。
所以，在一般的初干扰下，系统的响应是：
x1?A1?1?sin??n1t??1??A1?2?sin??n2t??2????（3.11） ?1??2?x2??1A1sin??n1t??1???2A1sin??n2t??2????1??2?A，?2四个未知数要由振动的四个初始条件式中，1,A1，?1来决定。
?1?x?10,x?2?x?20经设初始条件为：t=0时，x1?x10,x2?x20,x过运算，可以求出：
??????x?x21020????2x10?x20?2??????n1???2???1x?10?x?20?12?2.??????1x10?x20???A1????1??2?n2???? （3.12） ?10?x?20??1?n1??2x??1?tg?10?x?20?2x???10?x?20??1?n2??1x??2?tg?10?x?20??1x?1?1?A1??2??12将（3.12）式代入（3.11）就得到系统在上述初始下响应。 四、振动特性的讨论 1．运动规律
从（3.11）式可以看出，两自由度系统无阻尼自由振动是由两个简谐振动合成的。但从（3.7）式来看，这两个分振动的频率?n1与?n2的比值却不一定是有理数，因此合成不一定呈周期性。所以系统的自由振动一般来说是一种非周期的复杂运动。
在这一振动中，各阶主振动所占的比例由初始条件决定。但由于
低阶振型易被激发，所以通常情况下总是低阶主振动占优势。只有在某种特殊的初始条件下，系统才按一种主振型进行振动。 2．频率和振型
两自由度系统有两个不同数值的固有频率，称为主频率，当系统按任一个固有频率作自由振动时，即称为主振动。系统作主振动时，任何瞬间的各点位移之间具有一相对比值，即整个系统具有确定的振动形态，称为主振型。 3．节点和节面
在两自由度系统的第二阶主振型中存在着节点，而在第一阶主振型中却不存在节点。对多自由度系统来说也是如此，而且主振型的阶数越高，则节点数也就越多。一般来说，第i阶主振型有i-1个节点。
对于弹性体来说，节点已经不再是一个点，而是联成线或面，称为节线（nodal line）和节面（nodal surface）。 4．阻尼
若系统存在阻尼，则阻尼对多自由度系统的影响和单自由度系统相似。由于在工程结构中一般阻尼较小，故可略去不计。
[例] 试求如图3.4所示的系统的固有频率和主振型。已知
m1?m,m2?2m,k1?k2?k,k3?2k。
又若已知初始条件为x10的响应。
?10?x?20?0，试求系统?1.2,x20?x