一种减振装置，其动力学模型如图3.11所示。图中m1、k1为原振动系统（主系统）的质量（主质量）和弹簧刚度。m2、k2为动力减振器（附加系统）的质量（辅助质量）和弹簧刚度，c为动力减振器的阻
i?tpe尼。0为作用在主系统上的激振力。
从图3.11可以看出，在主系统上增加了附加系统后，即使原来的单自由度系统变为两自由度系统。其运动微分方程式为：
i?t????m1x1?c?x2?x1???k1?k2?x1?k2x2?p0e?? （3.27）
?2?c?x?2?x?1??k2x2?k2x1?0m2?x?设上列方程组的特解为：（稳态振动）
x1?B1ei?t??i?t?
x2?B2e???1?B1?cos?t;x（3.28）
??1??B1?2sin?t?x?? 2?2?B2?cos?t;??2??B2?sin?t?xx?将（3.28）式及其一阶、二阶导数代入（3.27）式得：
??m?1?k1?k2?ic?B1??k2?ic??B2?p0??? （3.29） 2??k2?ic??B1??m2??k2?ic?B2?0??2???解上列联立方程，求出主系统的振幅B1，并化成实数形式：
B1?????k?m???k?m???km????c???k?m?p0k2?m2???c??2222222221122112?m2?22?（3.30）
为了简化计算，引进下列符号：
?st??1??n?2??np0——主系统在激振力力幅p0作用下产生的静变位； k1k1m1——主系统的固有频率； k2m2——附加系统的固有频率；
——激振力频率与主系统固有频率之比；
????1?n?2?n???1?n??——减振器固有频率与主系统固有频率之比；
m2——辅助质量与主质量之比； m1??c——减振器的阻尼比。
2k2m2则（3.29）式可改写成下列无量纲形式：
?B1????st??2??2?4?2?2???2222221??????????4?2?21??2???2?2??????????2 （3.31）
现根据减振器分类进行讨论：（普遍式） 1．无阻尼动力减振器
若减振器没有阻尼元件，则??0，故（3.31）式简化为：
B1?st?2??2??1??2???2??2????2?2 （3.32）
由此可见，当??2??时，B1=0。即当减振器的固有??，即?n?2等于激振频率频率?n?时，辅助m通过弹性元件k作用于主质
2
2
量m1上的力，正好和激振力大小相等，方向相反，互相抵消，所以主系统振幅为零，从而达到消振的目的。
当激振频率
?1，即λ=1时，主系统?等于主系统固有频率?n
?1。若再取质量比??0.2，则（3.32）
?2等于主系产生共振。为了消除系统共振，应使减振器固有频率?n?1，即令?统固有频率?n
如图3.12所示。
式中的四个变量就固定了两个。对即可作出主系统的幅频响应曲线，
从图中可以看到，主系统共振点的振幅已经消失。但又出现了两
?。这两点的坐标值可以从（3.32）式的分项等个新的共振点?1?及?2于零时求出：
?1????22?????????0 1??2222??22?????2?2?0
1??因为??1 故上式成为 ?所以 ???1?对于?21,222?22??????0
?2????24 （3.33）
?1，质量比为??2n1,2的系统，两个固有频率（主频率）为：
k1???2???1????? （3.34） m1?4??2?显然，当激振频率生新的共振。
?正好等于?n1或?n2时，都会使系统产
根据（3.33）式可作出??与?的关系曲线，如图3.13所示 它们表示了系统的两个主频率?n1或?n2的相隔范围。我们希望这两个主频率相距较远。但对于稳定的定速运转机械，?值则还可以取得小些。
由以上分析可见，使用无阻尼动力减振器时要特别慎重，应用不当会带来新的祸害。所以，这种减振器主要用于激振频率变化不大的情况。
{教学演示片：}
2．有阻尼动力减振器
当减振器有阻尼元件时，则根据（3.31）式，以?为参变量，仍
1令??1,??
20，所作出的主系统的幅频响应曲线如图3.15所示。
?B1??2??2?4?2?2（??????2222221??????????4?2?21??2???2?st?2??????????2）
从图上可以看出：
1）无论阻尼的?为何值，幅频响应曲线均经过P、Q两点，也就是说，当频率比位于P点和Q点相应的频率比?1和?2值时，主系统的受迫振动的振幅与阻尼比?的大小无关，这一物理现象是设计有阻尼动力减振器的重要依据。
2）若令??0时的B1?st值与???时的B1?st值相等，就可求得P点
和Q点的横坐标值?1和?2。
当???时从（3.31）式得：
?1? （3.35） ?st1??2???2B1