（5）说明：
①累积性：整个过程的冲量等于各段冲量的矢量和；整个过程的动量变化等于各段动量变化的矢量
和；整个过程的冲量等于整个过程的动量变化。 ②与牛顿第二定律的关系：F=ma=Δmv/Δt=ΔP/Δt （6）动量定理解题的优越性：
①不涉及加速度以及位移 ②利用累积性，巧选过程可以使问题简化。 ③可以求变力的冲量。 （6）应用动量定理的一般解题步骤：
① 确定研究对象
② 各力冲量分析：各力及作用时间分析 ③ 分析物体的初、末状态的动量 ④ 选定正方向 ⑤ 列方程
⑥ 解方程讨论答案
5．例题：
例题1．如图所示，质量为M的铁锤，从h高处自由落下，打到质量为m钉子上后速度减为零（钉子被钉入木头中），且冲击时间为Δt，以竖直向上为正方向。求： （1）铁锤对钉子冲力的大小；（2）钉子受到木板的平均阻力大小； 解答分析：
（1）根据I=Δp，铁锤M：设完全非弹碰
(N-Mg) Δt=0-(-M2gh)
M2gh+Mg ?tM2ghM2gh只有当 >>Mg时，冲力才为。
?t?ty （2）根据I=Δp和牛顿第三定律，钉子m：
-(N+mg) Δt + f Δt=0 ∴ f= N+mg
∴ N=
N f Mg
mg N M2gh且 N>>mg，∴ f= N=+Mg
?t说明：① 在竖直方向的冲击问题中，当动量变化率远大于重力时，重力可以忽略不计；
② 坐标系方向不会影响计算结果。
例题2．如图所示，长为L的细绳，一端固定在O点，另一端系质量为m的小球，将小球从O点正下方L/4处，以一定的初速度水平向右抛出，且绳刚拉直时，小球下落到L/2处，试计算： （1）小球的初速度；
O （2）绳被拉直瞬间，悬点O受到的冲量。 θ L/4 v0 解答分析： L L/2 o
（1）如图θ=60，
v0=vytanθ=2gL43=
16gL 2θ v0 v
2?v2（2）v=v0y=2gL
vy ∴ 小球受到绳的冲量 I=mv=m2gL
6
根据牛顿第三定律：绳拉悬点O的冲量I’= I=m2gL
说明：① 忽略重力的冲量；
② 反馈可以求一求小球摆到最低点时绳子的拉力（答案：2mg，解略）。
例题3．质量为m=1.0kg的小球从高h1=20m处下落到软垫上，反弹后上升的最大高度为h2=5.0m，小球与软垫的接触时间为t=1.0s，则：
（1）小球接触软垫过程中动量变化为（ C ）
（2）小球接触软垫过程中受到软垫冲量为（ D ） （3）小球接触软垫过程中受到合力冲量为（ C ） y A．10kg?m/s，向上 B．30kg?m/s，向下 h1 N C．30kg?m/s，向上 D．40kg?m/s，向上
v2 h2 解答分析：球： v1 mg （1）Δp=mv2-(-mv1)=30kg?m/s，向上
（2）∵I合=IN-IG=Δp ∴IN=Δp+IG=30+1310=40kg?m/s，向上 （3）∵I合=Δp=30kg?m/s，向上
说明：① 受力分析；状态分析；过程的划分；
② 建立坐标系；
反馈题．一粒钢珠从静止状态开始自由下落，然后陷入泥潭中，若把在空中自由下落的过程称为1，进入泥潭直到停住的过程称为2，则（ ）
A．过程1中钢珠动量改变量等于重力的冲量
B．过程2中阻力的冲量的大小等于过程1中重力的冲量大小
C．过程2中阻力的冲量的大小等于过程1与过程2中重力的冲量大小 D．过程2中钢珠动量改变量等于阻力的冲量
说明：① 这类问题还有蹦极（bunjee jumping）运动； 例题4．（’02全国理综26题）蹦床是运动员在一张绷紧的弹性网上蹦跳、翻滚并做各种空中动作的运动项目。一个质量为60 kg的运动员，从离水平网面3.2m高处自由下落，着网后沿竖直方向蹦回到离水平网面5.0m高处。已知运动员与网接触的时间为1.2s。若把在这段时间内网对运动员的作用力当作恒力处理，求此力的大小。（g＝10m/s2）
解答分析：运动员：
下落触网：v1=2gh1（向下） 离网上升：v2=2gh2（向上） 触网过程中：∵ 动量定理
(N?mg)t?mv2?(?mv1) ∴ N=
h2 h1 v1 N v2 y
v1=2gh1=20m/s v2=2gh2=10m/s
m(2gh2?2gh1)+mg=1.53103N
tmg 说明：矢量式；建立坐标系。
7
例题5：一质量为100g的小球从0.80m高处自由下落到一厚软垫上．若从小球接触软垫到小球陷至最低点经历了0.2s，则这段时间内软垫对小球的冲量为________。 (取 g=10m/s2，不计空气阻力)．
分析与解:小球从高处自由下落到软垫陷至最低点经历了两个过程，从高处自由下落到接触软垫
2前一瞬间，是自由下落过程，接触软垫前一瞬间速度由：vt?2gh,求出vt?2gh?4m/s.
接触软垫时受到软垫向上作用力N和重力G(=mg)作用，规定向下为正，由动量定理：
(mg-N)t=0-mvt
故有：
在重物与地面撞击问题中，是否考虑重力，取决于相互作用力与重力大小的比较，此题中N=0.3N，mg=0.1N，显然在同一数量级上，不可忽略．若二者不在同一数量级，相差极大，则可考虑忽略不计（实际上从同一高度下落，往往要看撞击时间是否极短，越短冲击力越大）．
例题6：一个质量为m=2kg的物体,在F1=8N的水平推力作用下,从静止开始沿水平面运动了t1=5s,然后推力减小为F2=5N,方向不变,物体又运动了t2=4s后撤去外力,物体再经 过t3=6s停下来。试求物体在水平面上所受的摩擦力。
分析与解：规定推力的方向为正方向,在物体运动的整个过程中,物体的初动量P1=0,?末动量P2=O。据动量定理有： (F1t1?F2t2?f(t1?t2?t3)?0?
即：8?5?5?4?f(5?4?6)?0?，解得 f?4N?
由例6可知,合理选取研究过程，能简化解题步骤,提高解题速度。本题也可以用牛顿运动定律求解。同学们可比较这两种求解方法的简繁情况。 .
例题7：质量是60kg的建筑工人，不慎从高空跌下，由于弹性安全带的保护作用，最后使人悬挂在空中．已知弹性安全带缓冲时间为1.2s，安全带伸直后长5m，求安全带所受的平均冲量．（ g= 10m2
／s）
分析与解：人下落为自由落体运动，下落到底端时的速度为：V0?2gh
2?V0?2gh?10m/s
取人为研究对象，在人和安全带相互作用的过程中，人受到重力mg和安全带给的冲力 F，取F方向为正方向，由动量定理得： Ft=mV—mV0
所以F?mg?mV0（方向竖直向下） ?1100N，
t注意： 动量定理既适用于恒力作用下的问题，也适用于变力作用下的问题．如果是在变力作用下的问题，由动量定理求出的力是在t时间内的平均值。 例题8：求解曲线运动问题
20
如图所示，以Vo ＝10m／s的初速度、与水平方向成30角抛出一个质量m＝2kg的小球。忽略
2
空气阻力的作用，g取10m／s。求抛出后第2s末小球速度的大小。
分析与解：小球在运动过程中只受到重力的作用，在水平方向做匀速运动，在竖直方向做匀变速运动，竖直方向应用动量定理得： Fyt=mVy-mVy0
V0 0 30
8
图2 所以mgt=mVy-(-mV0.sin30),
0
解得Vy=gt-V0.sin30=15m/s. 而Vx=V0.cos30=53m/s
0
0
22 在第2s未小球的速度大小为：V?V0?Vy?103m/s
注意： 动量定理不仅适用于物体做直线运动的问题，而且也适用物体做曲线运动的问题，在求解曲线运动问题中，一般以动量定理的分量形式建立方程，即：
Fxt=mVx-mVx0 Fyt=mVy-mVy0 例题9：求解流体问题
-26
某种气体分子束由质量m=5.4X10kg速度V＝460m/s的分子组成，各分子都向同一方向运动，
20
垂直地打在某平面上后又以原速率反向弹回，如分子束中每立方米的体积内有n0＝1.5X10个分子，求被分子束撞击的平面所受到的压强．
分析与解：设在△t时间内射到 S的某平面上的气体的质量为ΔM，则：
?M?V?tS.n0m
取ΔM为研究对象，受到的合外力等于平面作用到气体上的压力F以V方向规定为正方向，由动量定理得:-F.Δt=ΔMV-(-ΔM.V),解得F??2Vn0Sm
平面受到的压强P为： P?F/S?2Vn0m?3.428Pa
注意：处理有关流体(如水、空气、高压燃气等)撞击物体表面产生冲力（或压强）的问题，可以说非动量定理莫属．解决这类问题的关键是选好研究对象，一般情况下选在极短时间△t内射到物体表面上的流体为研究对象 例题10：对系统应用动量定理。
系统的动量定理就是系统所受合外力的冲量等于系统总动量的变化。若将系统受到的每一个外力、系统内每一个物体的速度均沿正交坐标系x轴和y轴分解，则系统的动量定理的数学表达式如下：
22I1x?I2x???m1?V1x?m2?V2x??， I1y?I2y???m1?V1y?m2?V2y??
对于不需求解系统内部各物体间相互作用力的问题，采用系统的动量定理求解将会使求解简单、过程明确。
例10：如图3所示， 质量为M的汽车带着质量为m的拖车在平直公路上以加速度a匀加速前进，当速度为V0时拖车突然与汽车脱钩，到拖车停下瞬间司机才发现。若汽车的牵引力一直未变，车与路面的动摩擦因数为μ，那么拖车刚停下时，汽车的瞬时速度是多大？
分析与解：以汽车和拖车系统为研究对象，
全过程系统受的合外力始终为?M?m?a，该过程经历时间为V0/μg，末状态拖车的动量为零。全过程对系统用动量定理可得：
V0 m M 图3
V/
9
?M?m?a?V0?g?MV/??M?m?V0,?V/??M?m??a??g?V?Mg0
注意：这种方法只能用在拖车停下之前。因为拖车停下后，系统受的合外力中少了拖车受到的摩擦力，因此合外力大小不再是?M?m?a。
例题11：如图所示，矩形盒B的质量为M，放在水平面上，盒内有一质量为m
A V0 B 的物体A，A与B、B与地面间的动摩擦因数分别μ1、μ2，开始时二者均静止。
现瞬间使物体A获取一向右且与矩形盒B左、右侧壁垂直的水平速度V0，以后物体A在盒B的左右壁碰撞时，B始终向右运动。当A与B最后一次碰撞
后，B停止运动，A则继续向右滑行距离S后也停止运动，求盒B运动的时间t。
分析与解：以物体A、盒B组成的系统为研究对象，它们在水平方向所受的外力就是地面盒B的滑动摩擦力，而A与B间的摩擦力、A与B碰撞时的相互作用力均是内力。设B停止运动时A的速度为V，且假设向右为正方向，由系统的动量定理得：
??2(m?M)gt?mV?mV0
当B停止运动后，对A应用动能定理得：?1mgS??由以上二式联立解得：t?
1mV2 2mV0?m2?1gS?2(M?m)g。
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