2012年全国各地中考数学解析汇编20 二次函数的应用
（2012北海,7，3分）7．已知二次函数y＝x2－4x＋5的顶点坐标为：
A．（－2，－1）
B．（2，1）
C．（2，－1） b2a,4ac?b4a2 （ ）
D．（－2，1）
【解析】二次函数的顶点坐标公式为（?【答案】B
），分别把a，b，c的值代入即可。
【点评】本题考查的是二次函数顶点公式，做题时要灵活把握，求纵坐标时，也可以把横坐标的值代入到函数中，求y值即可，属于简单题型。
（2012山东省滨州，1，3分）抛物线y??3x2?x?4 与坐标轴的交点个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0
【解析】抛物线解析式?3x2?x?4，令x=0，解得：y=4，∴抛物线与y轴的交点为（0，4），令y=0，得到?3x2?x?4?0，即3x2?x?4?0，分解因式得：(3x?4)(x?1)?0 ，解得：x1??∴抛物线与x轴的交点分别为（?4343 , x2?1，
，0），（1，0），
综上，抛物线与坐标轴的交点个数为3． 【答案】选A
【点评】本题考查抛物线的性质，需要数形结合，解出交点，即可求出交点的个数．此题也可用一元二次方程根的判别式判定与x轴的交点个数，与y轴的交点就是抛物线中C的取值．
( 2012年四川省巴中市,8,3)对于二次函数y=2(x+1)（x-3）下列说法正确的是（ ） A.图象开口向下 B.当x＞1时,y随x的增大而减小 C.x＜1时，y随x的增大而减小 D.图象的对称轴是直线x= - 1
【解析】y=2(x+1)（x-3）可化为y=(x－1)2-8,此抛物线开口向上,可排除A,对称轴是直线x=1可排除D,根据图象对称轴右侧部分, y随x的增大而减小,即x＜1时,故选C. 【答案】C
【点评】本题考查将二次函数关系式化成顶点式的方法及图象性质.
12．（2012湖南衡阳市，12，3）如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法： ①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0 其中正确的个数为（ ）
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A．1B．2C．3D．4
解析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由x=1时的函数值判断a+b+c＞0，然后根据对称轴推出2a+b与0的关系，根据图象判断﹣1＜x＜3时，y的符号． 答案：解：①图象开口向下，能得到a＜0； ②对称轴在y轴右侧，x=
=1，则有﹣
=1，即2a+b=0；
③当x=1时，y＞0，则a+b+c＞0； ④由图可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0． 故选C．
点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
（2012呼和浩特，9，3分）已知:M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线y?上，设点M的坐标为（a,b），则二次函数y= –abx2+(a+b)x
12x上，点N在直线y=x+3A. 有最大值，最大值为 –C. 有最小值，最小值为
9292
B. 有最大值，最大值为
92
92 D. 有最小值，最小值为 –
12
【解析】M(a,b)，则N(–a,b)，∵M在双曲线上，∴ab=∴二次函数y= –abx2+(a+b)x= –【答案】B
12；∵N在直线上，∴b=–a+3,即a+b=3；
92x2+3x= –
12(x–3)2+，∴有最大值，最大值为
92
【点评】本题考查了轴对称的性质，利用点在函数图象上，把点代入的解析式中求得ab和a+b的值。 此题解题时没有必要解出a、b的值，而是利用整体代入法求解。
（2012陕西10，3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y?x?x?6向上（下）或向左（右）平移了m个
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2单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则m的最小值为（）
A．1 B．2 C．3 D．6
【解析】因为是左或右平移，所以由y?x2?x?6?(x?3)(x?2)求出抛物线与x轴有两个交点分别为
0?，0?，将抛物线向右平移2个单位，恰好使得抛物线经过原点，且移动距离最小．选B．?3，?-2，【答案】B
【点评】本题考查了抛物线的图像性质，关注它和x轴交点坐标是解决问题的关键.难度稍大. 12.（2012四川泸州，12，3分）抛物线y?(x?2)2?3的顶点坐标是（ ）
A.（2，3） B.（-2，3） C.（2，3） D.（-2，-3）
解析：求抛物线的顶点坐标可以运用顶点坐标公式，也可以运用配方法.由抛物线y?(x?2)2?3的顶点坐标为（2，3）.故选C. 答案：C.
点评：本题考查了二次函数图象顶点坐标，由配方法得到的顶点坐标中，横坐标符号容易被弄错，需要注意.
（2012，黔东南州，5）抛物线y?x?4x?3的图象向右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐标为（ ）
A 、（4，-1） B、（0，-3） C、（-2，-3） D、（-2，-1）
解析：y?x2?4x?3??x?2??1，所以顶点坐标为（2，-1），右平移2个单位长度后所得新的抛物线
22的顶点坐标为（4，-1）.
答案：A
点评：本题考查了抛物线的平移，难度较小.
（2012河南，5，3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y?x?4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为
A．y?(x?2)?2 B．y?(x?2)?2 C．y?(x?2)?2 D．y?(x?2)?2
22222
解析：根据点的坐标是平面直角坐标系中的平移规律：“左加右减，上加下减.”故选B.
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解答：B．
点评：根据平移概念，图形平移变换，图形上每一点移动规律都是一样的，也可用抛物线顶点移动.即（0，－4）—→（2，－2）.
(2012山东日照，11，3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论：① b－4ac>0；② 2a+b<0；③ 4a－2b+c=0；④ a︰b︰c= －1︰2︰3.其中正确的是（ ）
A. ①② B.②③ C. ③④ D.①④
解析：由图可知，对称轴为x=1，图象与x轴有两个交点（-1，0）和（3，0），故b－4ac>0；a-b+c=0,2a+b=0,所以b=-2a,c=-3a,所以a︰b︰c= -1︰2︰3.
解答：选D．
点评：本题主要考查二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标、对称轴等，解题的关键是运用数形结合思想，充分利用图象进行分析，排除错误答案.
12
(2012贵州黔西南州，10，4分)如图4，抛物线y=x＋bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，
2且A(－1，0)，点M(m，0)是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，m的值是( )． A．
25242325 B． C． D． 40414041
2
2
2
13【解析】解把A(―1，0)代入y=x2＋bx―2，求得b=―．
22
131325325
所以，y=x2―x―2=(x―)2―，所以抛物线顶点D(，―)．又求得C(0，―2)．
2222828
要x轴上的动点M(m，0)使MC＋MD最小，作C点关于x轴的对称点C/(0，2)，连接C/D与x轴的交点即为M点．
利用相似三角形的知识求得OM=0)．所以，n=
24
． 41
2424/
；或先求直线CD的解析式，再求这条直线与抛物线的交点坐标为(，4141
【答案】B．
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【点评】本题考查二次函数的图象与性质，一般在图形中解决“折线段最小值”的问题，要利用轴对称把“折线段”化为“直线段”进行计算．
（2012呼和浩特，9，3分）已知:M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线y?上，设点M的坐标为（a,b），则二次函数y= –abx2+(a+b)x
12x上，点N在直线y=x+3A. 有最大值，最大值为 –C. 有最小值，最小值为
9292
B. 有最大值，最大值为
92
92 D. 有最小值，最小值为 –
12
【解析】M(a,b)，则N(–a,b)，∵M在双曲线上，∴ab=∴二次函数y= –abx2+(a+b)x= –【答案】B
12；∵N在直线上，∴b=–a+3,即a+b=3；
92x2+3x= –
12(x–3)2+，∴有最大值，最大值为
92
【点评】本题考查了轴对称的性质，利用点在函数图象上，把点代入的解析式中求得ab和a+b的值。 此题解题时没有必要解出a、b的值，而是利用整体代入法求解。
（2012甘肃兰州，14，4分）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象所示，若∣ax2+bx+c∣=k(k≠0)有两个 不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k<-3 B. k>-3 C. k<3 D. k>3 解析：根据题意得：y=|ax2+bx+c|的图象如右图：
所以若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k＞3， 故选D． 答案：D
点评：本题考查了二次函数的图象，先根据题意画出y=|ax2+bx+c|的图象，即可得出|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根时，k的取值范围．解决本题的关键是根据题意画出y=|ax2+bx+c|的图象，根据图象得出k的取值范围．
（2012南京市，12，2）已知下列函数：①y=x2;②y= -x2;③y=(x-1)2+2.其中，图像通过平移可以得到函数y= -x2+2x-3的图像有 .
解析：只要二次项的系数相同，这类二次函数图像均可以通过平移得到. 答案：②.
点评：二次项的系数a决定二次函数的形状、开口大小等，所有a相等的二次函数都可以由y=ax2经过平
移得到.
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第14题图