（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，
?5k?b?448设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，则?，解得：k?，b?? 33?2k?b?0∴y?当x?
4352x?83 43?52?83?23时，y?， ∴P(52,23) （4）∵MN∥BD， ∴△OMN∽△OBD， ∴OMOB?ONOD,即t4?ON2，得ON?112t 12555(?t)??t? 23246设对称轴交x轴于点F，则S梯形PFOM=(PF?OM)?OF?2∵S△MON=OM?ON?211112t?t?t 2241256t)?23??14215(?22255121S?t??t?(?t?4646S△PNF=1NF?PF?16t?171256 )??t?t(0?t?4) S存在最大值． 由S??∴当t?14t?21712t??14(t?176)?2289144 176时，S取得最大值为176).
289144 此时点M的坐标为(0,点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，以及菱形性质和待定系数法求解析式，求图形面积最值，利用二次函数的最值求出是解题关键，难度较大.
（2012贵州遵义，27, 分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，﹣
）．
（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标； （2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．
第21页（共61页）
解析： （1）根据函数经过原点，可得c=0，然后根据函数的对称轴，及函数图象经过点 （3，﹣）可得出函数解析式，根据二次函数的对称性可直接得出点A的坐标． （2）根据题意可得点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为 2，代入函数解析式可得出点P的横坐标； （3）先求出∠BOA的度数，然后可确定∠Q1OA=的度数，继而利用解直角三角形的 知识求出x，得出Q1的坐标，利用二次函数图象函数的对称性可得出Q2的坐标． 答案： 解：（1）由函数图象经过原点得，函数解析式为y=ax2+bx（a≠0）， 又∵函数的顶点坐标为（3，﹣∴， ）， 解得：， 故函数解析式为：y=x﹣2x， 由二次函数图象的对称性可得点A的坐标为（6，0）； （2）∵S△POA=2S△AOB， ∴点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为2代入函数解析式得：2解得：x1=3+，x2=3﹣=x2﹣， ，2），P2（3﹣，2）． x， ， 即可得满足条件的有两个，P1（3+（3）存在． 过点B作BP⊥OA，则tan∠BAP==， 第22页（共61页）
故可得∠BOA=60°， 设Q1坐标为（x，∵△OAB∽△OQ1A， ∴∠Q1OA=30°， 故可得OF=Q1F，即x=（x﹣2x﹣2x），过点Q1作Q1F⊥x轴， x）， 解得：x=9或x=0（舍去）， 即可得Q1坐标为（9，3）， ）． 根据函数的对称性可得Q2坐标为（﹣3，3点评： 此题属于二次函数的综合题目，涉及了相似三角形的判定与性质，三角形的面积及 一元二次方程的解，综合性较强． （2012呼和浩特，25，12分）（12分）如图，抛物线y?ax2?bx?c(a<0)与双曲线y?kx相交于点A、B，
且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为（–2，2），点B在第四象限内，过点B作直线BC∥x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍，记抛物线顶点为E。
（1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC与△ABE的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍。若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。
yExAOCB
【解析】二次函数、反比例函数综合题 【答案】
解：（1）∵点A（–2，2）在双曲线y?
∴k= –4
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kx上
∴双曲线的解析式为y??4x
∵BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍
∴可设B点坐标为（m,–4m）（M>0）代入双曲线解析式得m=1 ∴抛物线y?ax2?bx?c过点A（–2，2）、B（1，–4）、O（0，0） ?4a?2b?c?2?a??1??∴?a?b?c??4 解得?b??3 ?c?0?c?0??
∴抛物线的解析式为y= –x2–3x
2
（2）∵抛物线的解析式为y= –x–3x
339∴顶点E(?,)，对称轴为x=?
224yEFx∵B（1，–4） ∴–x–3x=–4 ∴C（–4，–4） ∴S△ABC=5363
122
A解得x1=1,x2= –4
O=15
CB由A、B两点坐标为（–2，2），（1，–4）可求得直线AB的解
析式为：y= –2x–2
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设抛物线对称轴与AB交于点F，则F点坐标为（–∴EF=
94?1?5432，1）
12∴S△ABE=S△AEF+S△BEF=
1583
5433=
158
（3）∵S△ABE=
∴8 S△ABE=15
∴当点D与点C重合时，显然满足条件。
当点D与点C不重合时，过点C作AB的平行线CD，其对应的一次函数解析式为y= –2x–12 令–2x–12=–x2–3x 解得x1=3,x2= –4(舍) 当x=3时，y= –18
∴存在另一点D（3，–18）满足条件。
【点评】（1）利用反比例函数求点的坐标，并求出抛物线的解析式。（2）中利用解析式求出各个点的坐标，再求三角形的面积。（3）利用同底等高的原理作出平行线，找出另一点并求坐标。
（2012湖北武汉，23，10分）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16米，AE＝8米，抛物线的顶点C到ED距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴y轴建立平面直角坐标系， （1）求抛物线的解析式；
（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离ｈ（单位：米）随时间ｔ（单位：时）的变化满足函数关系 ｈ＝－
11282(t?19)?8 （０≤ｔ≤40）
且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？
解析：1、根据题意可得A，B，C，三点坐标分别为（-8，8）（０，11）（8，8），利用待定系数法，设?8?82a?c抛物线解析式为y=ax+c,有?,解方程组即可
?11?c2
2、水面到顶点C的距离不大于5米，即函数值不小大于11－5＝６，解方程－即可
1128(t?19)?8＝６
2解：1、依题有顶点Ｃ的坐标为（０，11），点Ｂ的坐标为（8，8），设抛物线解析式为y=ax2+c
3??8?82a?ca???有?,解得?64 ?11?c?c?11?∴抛物线解析式为y=－2、令－
11282364x2+11
(t?19)?8＝11－5，解得t１＝35，t2=3 1128(t?19)?8 （０≤ｔ≤40）的图像，
2画出 ｈ＝－
由图像变化趋势可知，当3≤ｔ≤35时，
水面到顶点C的距离不大于5米，需禁止船只通行， 禁止船只通行时间为35－3＝32（时） 答：禁止船只通行时间为32小时。 点评：难度中等
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