【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，利用实际生活问题构建出数学模型，考生解决此类问题的关键是充分挖掘出题目中的等量关系，然后将实际问题转化为数学问题，从而解决实际问题．难度中等．
（2012山西，26，14分）综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点． （1）求直线AC的解析式及B．D两点的坐标；
（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A．P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．
【解析】（1）当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3． ∵点A在点B的左侧，
∴A．B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）． 当x=0时，y=3． ∴C点的坐标为（0，3）
设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k1≠0）， 则
，
解得，
∴直线AC的解析式为y=3x+3． ∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点D的坐标为（1，4）． （2）抛物线上有三个这样的点Q，
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①当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）； ②当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为﹣3，代入抛物线可得点Q2坐标为（1+
，﹣3）；
，﹣3）；
③当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1﹣综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q1（2，3），Q2（1+
，﹣3），Q3（1﹣
，﹣3）．
（3）点B作BB′⊥AC于点F，使B′F=BF，则B′为点B关于直线AC 的对称点．连接B′D交直线AC与点M，则点M为所求， 过点B′作B′E⊥x轴于点E． ∵∠1和∠2都是∠3的余角， ∴∠1=∠2．
∴Rt△AOC～Rt△AFB， ∴
，
由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3， ∴AC=∴∴BF=
，AB=4． ， ，
，
∴BB′=2BF=
由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB， ∴∴
， ，即
．
∴B′E=，BE=， ﹣3=
．
∴OE=BE﹣OB=
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∴B′点的坐标为（﹣，）．
设直线B′D的解析式为y=k2x+b2（k2≠0）．
∴，
解得，
∴直线B'D的解析式为：y=x+，
联立B'D与AC的直线解析式可得：，
解得，
∴M点的坐标为（，）．
【答案】（1）直线AC的解析式为y=3x+3；B的坐标分别为（3，0）；顶点D的坐标为（1，4）． （2）满足题意的点Q有三个，分别为：Q1（2，3），Q2（1+（3）M点的坐标为（
，
）．
，﹣3），Q3（1﹣
，﹣3）．
【点评】本题综合考查了二次函数中用配方法求顶点坐标、与两坐标轴的交点的求法、待定系数法求直线解析式、三角形相似的判定及性质；平面上两点之间最短距离的转化思想、数形结合思想、分类讨论思想等多个知识点和多个初数的数学思想的综合，对考生在知识和能力上均提出了很高的要求，能很好的区分不同层次的考生，达到拉开不同层次考生差距的目的．难度较大．
（2012山东东营，24，11
分）已知抛物线y?32x2?bx?63经过
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A（2，0）． 设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．
（1）求b的值，求出点P、点B的坐标； （2）如图，在直线 y=3x上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；
若不存在，请说明理由； y y?3x O A B x P
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使△AMP≌△AMB？如果存在,试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由． 【解析】(1)把A（2，0）代入
y?32x2?bx?63即可求得b的值，配方可求P的坐标，令y=0,解方程
可求B的坐标；（2）根据两组对边分平行的四边形是平行四边形，求边所在直线的解析式，然后求出交点D的坐标；（3）可判断△PAB是等边三角形，因此只要作∠PAB的平分线交抛物线于M点即为所求的点。 【答案】解：（1）由于抛物线y?32x?bx?63经过A（2，0），所以0?232?4?2b?63，
解得b??43，所以抛物线的解析式为y?322x?43x?63.（*），将（*）配方，得y?32?x?4?2?23，
所以顶点P的坐标为（4，-23）.令y=0，得解得
x1?2,x2?632?x?4?2?23?0，
3. 所以点B的坐标是（6，0）. （2）在直线 y=x上存在点D，使四边形OPBD为平
3)分别代入，得
行四边形. 理由如下：设直线PB的解析式为y?kx+b，把B（6,0）,P(4,-2??6k?b?0,? 解得?4k?b??23.?y?3x??k?3,?所以直线PB的解析式为y?3x?63.又直线OD的解析式为?b??63.?，所以直线PB∥OD. 设直线OP的解析式为y?mx，把P(4,-23)代入，得4m??23，解得
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m??32.如果OP∥BD，那么四边形OPBD为平行四边形.设直线BD的解析式为y?33??32x?n，将B(6,0)代
入，得0=?33?n，所以n
所以直线BD?y?3x,??x?2,?x?n，的解析式为y??解方程组?得所以?32?y?23.x?33.?y???2?3D点的坐标为（2,2
3）
（3）符合条件的点M存在.验证如下：过点P作x轴的垂线，垂足为为C，则PC=2
3，AC=2，由勾股定
理，可得AP=4，PB=4，又AB=4，所以△APB是等边三角形，只要作∠PAB的平分线交抛物线于M点，连接
PM,BM,由于AM=AM, ∠PAM=∠BAM,AB=AP，可得△AMP≌△AMB.因此即存在这样的点M,使△AMP≌△AMB.
【点评】综合考查了二次函数、平行四边形、特殊三角形的性质，熟练掌握所学知识，并能融会贯通，运用数形结合的思想去解题。 y y?3x D C M P
（2012，黔东南州，24）如图，已知抛物线经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）D三点。 （1）、求抛物线的解析式。
（2）、点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长。
（3）、在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在点m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值，若不存在，说明理由。点的纵坐标
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