（2012湖北武汉，25，12分）如图1、点A为抛物线C1：y =线AB交抛物线C1于另一点C，（1）求点C的坐标;
（2）如图1,平行于y轴的直线x＝3交直线AB于点D，交抛物线C于点E，平行于y轴的直线x＝a交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG：DE＝4：3,求a的值。
（3）如图2将抛物线C向下平移m（m>0）个单位得到抛物线C2且抛物线C2的顶点为点P交X轴负半轴于点M，交射线BC于点N，NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值。
122，直x?2的顶点，点B的坐标为（1,0）
解析：1、求C点的坐标，可首先利用待定系数法求出直线AB的解析式，联立直线与抛物线得到方程组，求解方程组即可；
2、根据题意，DE的长度可求
32又FG：DE＝4：3,故可求FG=2即∣yF-yG∣=2,把x＝a代人两个函数
解析式，用a表示F、G、纵坐标，得到关于a的方程即可；
3、解决本题关键在于抓住M、P之间的联系，可设点M坐标为（ 线C2解析式为y =
12x?2t，0），根据待定系数法得抛物
12t，即P点坐标为（0，?212，又直线AB与抛物线C2的交点N坐标为t）
2（2-t，2-2t ），从而有∠NMO=450，进而MN与y轴交点为T（0，-t）,由特殊角三角函数和线段和差有NT=-t+
122（2-t）,PT=-t+
12t2，又PN平分∠MNQ, NQ∥TP 故∠MNP=∠PNQ=∠TPN ，PT=NT,即
t2=2(2-t)，从而求得t值，进而求得m.
解：（1）当x=0时，y=－２, ∴A(0，－２) 设直线AB的解析式为y=kx+b,有
??2?b?k?2，解得. ∴直线AB的 解析式为y=2x-2. ??0?k?bb??2??12??y?x?2由C点为直线与抛物线y =x?2的交点，则点C的横、纵坐标满足? 22?y?2x?2?12第26页（共61页）
?x1?4?x2?0解得? ?（舍） ∴点C的坐标为（4，6）
y?6y??2?1?2（2）直线x＝3分别交直线AB和交抛物线C1于D、E两点。 ∴yD=4, yE=
52, ∴DE=
32
∵FG：DE＝4：3．FG＝２
∵直线分别交直线AB和抛物线C于F、G两点。 ∴yF=2a-2, yG=
12a2-2, ∴FG=|2a-
12a2|=2
解得a1=2,a2=2+22,a3=2-22
（3）解法一：设直线MN交y轴于T，过点N作NH⊥y轴于点H。 设点M坐标为（ t，0），抛物线C2 的解析式为y =∴0=
12t21212x2?2?m 12t
2?2?m ，∴?2?m??1212t ∴y =
2x?2∴点P坐标为（0，?， t）
122∵点N是直线AB与抛物线y=
1212?y?x?t? 22??y?2x?2?x2-
12t2的交点，则点N的横，纵坐标满足
?x1?2?t?x2?2?t解得? ?(舍去) ∴点N坐标为（2-t，2-2t ）
y?2?2ty?2?2t?1?2NQ=2--2t ，MQ=NQ, ∴
∴△MOT, △NHT均为等腰直角三角形，∴MO=NO,HT=HN, ∴OT=t，NT=2NH=2（2-t）,PT=-t+
12t2
∵PN平分∠MNQ, NQ∥TP ∴∠MNP=∠PNQ=∠TPN ∴PT=NT, ∴-t+
12t2=2(2-t), ∴t1=-22,t2=2(舍去)
12-2-m=-t2=-
12(-22)2,∴m=2
12解法二，设N坐标为（t,2t-2）,抛物线C2的解析式为y=∴点P坐标为（0，?12t+2t-2）
2x2-2-m, ∴2t-2=
12t2-2-m
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同解法一可得∠MNQ=45，∴∠PNQ=
0
12∠MNQ=22.5，
0
过点P作PF⊥NQ于点F，在FN上截取FJ=FP，连线JP，∴NJ＝JP＝2PF＝2FJ ∴NF＝（2＋１）PF，∴即（２t-2）-(-∴t1=22+2,t2=0(舍去), ∴m=
122
12t2+2t-2)=( 2+1)t
t-2t=2 ∴m=2
点评：本题以二次函数为背景，考察了待定系数法，函数与方程组，抛物线与直线所截线段长度的计算，特殊角的三角函数，平行线、角平分线的性质等相关知识，以及数形结合的数学思想，1、2问难度不大，2问学生需注意分类讨论，也可以对线段的长度加绝对值达到分类讨论的效果；3问难度较大，学生不容易找到问题的突破口，学生可以先进行必要的计算，边算边找，只要找到∠NMQ=45，问题就较为明晰了。
（2012湖南衡阳市，27，10）如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜（1）当t为何值时，PQ∥BO？ （2）设△AQP的面积为S，
①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；
②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．
）秒．答案如下问题：
0
解析：（1）如图①所示，当PQ∥BO时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式值；
（2）①求S关系式的要点是求得△AQP的高，如图②所示，过点P作过点P作PD⊥x轴于点D，构造平行线PD∥BO，由线段比例关系
求得PD，从而S可求出．S与t之间的函数关系式是一个关于t的二
，求出t的
次函数，利用二次函数求极值的方法求出S的最大值；
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②本问关键是求出点P、Q的坐标．当S取最大值时，可推出此时PD为△OAB的中位线，从而可求出点P的纵横坐标，又易求Q点坐标，从而求得点P、Q的坐标；求得P、Q的坐标之后，代入“向量PQ”坐标的定义（x2﹣x1，y2﹣y1），即可求解．
答案：解：（1）∵A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8， ∴AB=
=
=10．
如图①，当PQ∥BO时，AQ=2t，BP=3t，则AP=10﹣3t． ∵PQ∥BO，∴∴当t=
（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10．
①如图②所示，过点P作PD⊥x轴于点D，则PD∥BO， ∴
，即
，解得PD=6﹣t． ，即
，解得t=
，
秒时，PQ∥BO．
S=AQ?PD=?2t?（6﹣t）=6t﹣t2=﹣（t﹣）2+5， ∴S与t之间的函数关系式为：S=﹣（t﹣）2+5（0＜t＜当t=秒时，S取得最大值，最大值为5（平方单位）． ②如图②所示，当S取最大值时，t=， ∴PD=6﹣t=3，∴PD=BO，又PD∥BO， ∴此时PD为△OAB的中位线，则OD=OA=4， ∴P（4，3）． 又AQ=2t=
，∴OQ=OA﹣AQ=
，∴Q（
，0）．
），
依题意，“向量PQ”的坐标为（﹣4，0﹣3），即（，﹣3）．
∴当S取最大值时，“向量PQ”的坐标为（，﹣3）．
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点评：本题是典型的动点型问题，解题过程中，综合利用了平行线分线段成比例定理（或相似三角形的判定与性质）、勾股定理、二次函数求极值及三角形中位线性质等知识点．第（2）②问中，给出了“向量PQ”的坐标的新定义，为题目增添了新意，不过同学们无须为此迷惑，求解过程依然是利用自己所熟悉的数学知识．
（20122湖南省张家界市225题212分）如同，抛物线
y??x?2233x?2与x轴交于C、A两点，
与y轴交于点B，OB=4点O关于直线AB的对称点为D，E为线段AB的中点.
（1） 分别求出点A、点B的坐标 （2） 求直线AB的解析式 （3） 若反比例函数y?kx的图像过点D，求k值.
（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB、AO方向向B、O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动
12个单位，设△POQ的面积为S，移动时间为t,问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大
值，并求出此时的t值，若不存在，请说明理由.
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