y D2 B P O Q AC x
【分析】（1）求抛物线与x轴的交点的横坐标，即求函数值为0时，x的值；（2）利用待定系数法可求；（3）求出D点的坐标，再代入反比例函数关系式即可求k值；（4）利用二次函数的最值求解.
2
【解答】解：（1）令y=0，即-x+
533x+2=0，解答x1=-
33，x2=23.
∴C（-
33，0），A（23，0）
（2）令AB为直线为y=k1x+2，∵点A（23，0）在直线上，
33∴0=K1223+2，∴k1=-.
∴AB的解析式为y=-
33x+2.
（3）∵D点与O点关于AB对称，∴OD=OA=23. ∴D点的横坐标为3，纵坐标为3，即D（3，3）. 因为y=
kx过点D，∴3=
12k3，∴k=33.
12（3）∵AP=t，AQ=t，∴OQ=23-12t.
点P到OQ的距离为t.
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∴S△OPQ=
122（23-
12t）2
12t=-
18（t-23）+
2
32.
?t?4??1依题意，?t?23，得0＜t≤4，
?2??t?0∴当t=23时，S有最大值为
32.
【点评】本题是考查一次函数、反比例函数和二次函数，由函数及满足函数图象的点，求出相关点的坐标，然后用待定系数法，求出抛物线的解析式；再根据二次函数的最值求解问题．
( 2012年四川省巴中市,29,9)某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;
(2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?最大利润是多少?
【解析】①根据题意，y=（60-50+x）(200-10x),整理得，y=10x2+100x+2000(0 ②由① 得y=-10x2+100x+2000=－10（x-5）2＋2250，当x=5时，最大月利润y为2250元。 【答案】①y=-10x2+100x+2000(0 【点评】本题是二次函数的应用问题，“最大利润问题”，根据题意准确的确定函数关系式是解决问题的 关键. (2012山东日照，22，9分)如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发， P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设 运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）. （1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）求△PBQ的面积的最大值. 解析：先运用三角形的面积公式求出y关于x的函数关系式，然后运用公式法或配方法把函数化成顶点式，再根据x的取值范围求所得函数的最大值，进而解决问题. 第32页（共61页） 解：（1）∵S△PBQ= ∴y= 1212PB2BQ, PB=AB－AP=18－2x，BQ=x， （18－2x）x，即y=－x2+9x（0 92（2）由（1）知：y=－x2+9x，∴y=－(x－ ∵当0 92）2 + 814, 时，y随x的增大而增大， 而0 2 ∴当x=4时，y最大值=20，即△PBQ的最大面积是20cm. 点评：本题考查了列函数关系式表示几何关系的能力以及二次函数的最值的求法，解题的关键是用x表示相关线段的长，然后关键三角形的面积公式求出y关于x的函数关系式，难点是求函数的最大值. （2012广东肇庆，25，10） 已知二次函数y?mx2与x轴交于A（x1，?nx?p图象的顶点横坐标是2， 0）、B（x2，0），x1﹤0﹤x2，与y轴交于点C，O为坐标原点，tan?CAO?tan?CBO?1．3（—m） — 123434=— 23m— 2 83=— 23（m＋2）＋ 2 83. （3）假设在第三象限的抛物线上存在点Q（x，y），使得点Q到BB1的距离是 22，过点Q作QD⊥BB1于点D，由（2）可知，这时△PBB1的面积可以表示为 （x＋2）2＋ 83— 23. 在Rt△O BB1中， BB1=OB?OB1=42， 22∵S△PBB1= 23123BB13QD= 8312342322=2， ∴—（x＋2）2＋=2，解得：x 的值是－1或者是－3，当x=－1时，y=－4，当x=－3时，y=－2，因 22此在第三象限内，抛物线上存在点Q，使得Q点到线段BB1的距离是（—3，—2）； ，这样的点Q 的坐标是（—1，—4） 点评：与二次函数有关的动点构造的面积问题，结合几何图形的信息，建立方程或者是函数模型，通过解方程或者是对函数的性质的讨论，确定问题的所有情况，转化、数形结合、待定系数法、分类等多种数学思想方法综合运用，有助于解决问题. 第33页（共61页） （2012深圳市 22 ，9分）如图8，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(?4,0),B(1,0),C(?2,6) （1）求经过A、B、C三点抛物线的解析式 （2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE （3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似吗？请说明理由。 【解析】：（1）已知三点的坐标，代入二次函数的一般式，或利用二次函数的交点式，求出待定系数a,b,c的值。（2）求出直线BC的解析式及点E的坐标，过点C向y轴作垂线，通过计算AE、CE的长来说明AE=CE；（3）抓住?ABC是这两个三角形的公共角，证明它们的夹边是否对应成比例即可。 【解答】：如图8—1 （1）解：设抛物线的解析式为y?a(x?x1)(x?x2)?a(x?4)(x?1) yyCFDFEAA图8 CG DEO图8--1 BxOBxyC?C(?2,6)在抛物线上，?6?a(?2?4)(?2?1)，?a??1 G DFE故 y??x?3x?4为所求 （2）过点C作CG⊥y轴于点G，有OG?6，CG?2 ?B(1,0),C(?2,6)，设直线BC的解析式为y?kx?b则 2?x?0?0?k?b 解之得：， 故E(0,2)，OE?2 ??y?2??6??2k?6A图8--1 OE?OA?22OBx?CE?CG?GE22?2?4?2522，?AE??2?4?25 22?AE?CE 第34页（共61页） （3）相似 由于y??x2?3x?4，令x?0，则y?4?D(0,4) 直线BC的解析式为：y??2x?2 同理可求直线AD的解析式为：y?x?4， 2?x????y??2x?2?3有：?，解之得：? 10y?x?4??y???3?故交点F(?23,?103)，易求得：BF?553,BC?35,AB?5 可知： ABBF?BCAB?355，又?ABF??CBA，故?ABF??ABC 【点评】：几何与坐标是中考中重点考查的内容。本题主要考查用待定系数法求二次函数、一次函数的解 析式，求直线与坐标轴交点的坐标，并能熟练将点的坐标转换为线段的长，利用勾股定理进行计算。能根据题目的特点熟练选择相似三角形的判定定理 （2012山西，24，10分）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： （1）每千克核桃应降价多少元？ （2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ 【解析】（1）解：设每千克核桃应降价x元． ?1分 根据题意，得 （60﹣x﹣40）（100+320）=2240． ?4分 化简，得 x2﹣10x+24=0 解得x1=4，x2=6．?6分 答：每千克核桃应降价4元或6元． ?7分 （2）解：由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元． 因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元． ?8分 此时，售价为：60﹣6=54（元）， 答：该店应按原售价的九折出售． ?10分 【答案】（1）每千克核桃应降价4元或6元． （2）该店应按原售价的九折出售． 第35页（共61页） ． ?9分