期权定价中的蒙特卡洛模拟方法
期权作为最基础的金融衍生产品之一，为其定价一直是金融工程的重要研究领域，主要使用的定价方法有偏微分方程法、鞅方法和数值方法。而数值方法又包括了二叉树方法、有限差分法和蒙特卡洛模拟方法。
蒙特卡洛方法的理论基础是概率论与数理统计，其实质是通过模拟标的资产价格路径预测期权的平均回报并得到期权价格估计值。蒙特卡洛方法的最大优势是误差收敛率不依赖于问题的维数，从而非常适宜为高维期权定价。
§1. 预备知识
◆两个重要的定理：柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)强大数定律和莱维一林德贝格(Levy-Lindeberg)中心极限定理。
大数定律是概率论中用以说明大量随机现象平均结果稳定性的一系列极限定律。在蒙特卡洛方法中用到的是随机变量序列同分布的Kolmogorov强大数定律：
设?1,?2,?为独立同分布的随机变量序列，若
E[?k]????,k?1,2,?则有p(lim??kn??nk?1n1n??)?1
显然，若?1,?2,?,?n是由同一总体中得到的抽样，那么由
1k此大数定律可知样本均值??当n很大时以概率1收敛于
nk?1总体均值?。
1
中心极限定理是研究随机变量之和的极限分布在何种情形下是正态的，并由此应用正态分布的良好性质解决实际问题。
设?1,?2,?为独立同分布的随机变量序列，若
nE[?k]????,D[?k]??2??,k?1,2,?nk则有12?x??k?1k?n????N(0,1)
dn?21其等价形式为limP(n????nk?1???x)??n?exp(???t2)dt,???x??。
◆Black-Scholes期权定价模型 模型的假设条件：
1、标的证券的价格遵循几何布朗运动
dSS
其中，标的资产的价格S是时间t的函数，?为标的资产
dW是维纳过程。?为标的资产的波动率，的瞬时期望收益率，
??dt??dW2、证券允许卖空、证券交易连续和证券高度可分。 3、不考虑交易费用或税收等交易成本。 4、在衍生证券的存续期内不支付红利。 5、市场上不存在无风险的套利机会。 6、无风险利率r为一个固定的常数。
下面，通过构造标的资产与期权的资产组合并根据无套利定价原理建立期权定价模型。首先，为了得到期权的微分形式，先介绍随机微积分中的最重要的伊藤公式。
伊藤Ito公式：设V
?V(S,t)，V是二元可微函数，若随机
2
过程S满足如下的随机微分方程
dSS??(S,t)dt??(S,t)dW
?V?S则有
dV?(?V?t??(S,t)S?V?S?12?(S,t)S22?V?S22)dt??(S,t)SdW
根据伊藤公式，当标的资产的运动规律服从假设条件中的几何布朗运动时，期权的价值VdV?(?V?t?12?V(S,t)的微分形式为
2?S22?V?S2??S?V?S)dt??S??V?S?V?S现在构造无风险资产组合??V经整理后得到
?V?t?12
S，即有d?dW?r?dt，
?S22?V?S22?rS?V?S?rV?0
这个表达式就是表示期权价格变化的Black-Scholes偏微分方程。它同时适合欧式看涨期权、欧式看跌期权、美式看涨期权和美式看跌期权，只是它们的终值条件和边界条件不同，其价值也不相同。
欧式看涨期权的终边值条件分别为
V(S,T)?max?0,ST?K??0????????S?0V(S,T)???S???????S??，
通过求解带有终边值条件的偏微分方程，得出欧式看涨期权的的解析解：
V(S,t)?SN(d1)?Ke?r(T?t)N(d2)2
/2)(T?t)其中，
N(d)?12??d??e?x22dx，
d1?ln(S/K)?(r???T?t，d2?d1??T?t，T为期权的执行日期，K为期权的执行价格。
3
欧式看跌期权的终边值条件分别为
V(S,T)?max?0,K?ST??K????????S?0V(S,T)???0?????????S??，
此外，美式看涨期权的终值条件为V(S,t)?max{0,S?K}，美式看跌期权的终值条件为V(S,t)?max{0,K洛模拟、有限差分法等）求得其近似解。
◆风险中性期权定价模型
如果期权的标的资产价格服从几何布朗运动
dSS?S}。然而，美式
期权的价值没有解析解，我们一般可通过数值方法（蒙特卡
即标的资产的瞬时期望收益率?取为无风险利率r。同理，根据伊藤公式可以得到
dlnS?(r??rdt??dW?22)dt??dW
?2lnST?lnSt?(r??22)(T?t)??(WT?Wt)~N((r?2)(T?t),?(T?t))2
ST?Stexp((r??22)(T?t)??(WT?Wt))
2
对数正态分布的概率密度函数：设??~N(?,?)，??e?，则
的密度函数为
2?1(lnx??)exp(?)??????????x?0???????2P?(x)??2??x2??0??????????????????????????????????????????????????x?0????
根据上述公式，得到标的资产S的密度函数如下
T 4
2?x?2(ln?(r?)(T?t))?St21?exp(?)?????????????x?0P(x)??22?(T?t)?2?T?t?x??0??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????x?0
在风险中性概率测度下，欧式看涨期权定价为：
V(S,t)?exp(?r(T?t))E[max{0,ST?K}]Q
2E[max{0,ST?K}]?Q???K1(lnT?texp(?xSxS?(r?2??2?22??T?t?)(T?t))2)(T?t))2)dx????KKx?2?T?t(lnexp(??(r?2?222??T?t?)dx
接下来，求解以上风险中性期望。首先，对上式的右边第一个广义积分分别作变量替换
lny?xS?(r??2?2T?t)(T?t)和u?(lnxSy??T?t，可以得到
2???K1?(r??2?2?T?t??lnKS?(r?exp(?222??T?t?2)(T?t)))dxlnSK?(r?)(T?t)2T?t?2?Ser(T?t)?1?22)(T?t)2?e?u2du?Ser(T?t)????12?e?u22du?Ser(T?t)N(d1)?T?t
再对等式的右边的第二个无穷积分，令
lnx?lnS?(r?u??22)(T?t)?T?t，可求得
(lnxS?(r?2?2???KKx???lnK?lnS?(r?2?T?texp(?22?(T?t))(T?t))2)dx?2?K?1?22)(T?t)2?e?u2lnS?lnK?(r?2)(T?t)2du?K????T?t12?e?u22du?KN(d2)?T?t
5