本例中的美式看跌期权价格为：
price=AmericanOptLSM(50,50,0.1,5/12,0.4,50,100000) Price=4.2654
§7. 改进蒙特卡洛方法计算效率的常用几种方差减少技术
方差减少技术的共性是利用模型特点，调整或修正模拟的输出变量，从而降低估计值的方差。在采用方差减少技术时，要具体问题具体分析，针对不同期权类型的特点应用相关的方差减少技术，从而取得效率的最大改进。
◆对偶变量(Antithetic variates)技术
对偶变量技术是最简单和最常用的方差减少技术。以标准欧式看涨期权为例，其标准蒙特卡洛估计值为
CMC?1mmmexp(?rT)?max?0,ST?K?jjj?1exp(?rT)?C?j?1m
标的股票的股价终值抽样为
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SjT?S0e(r?12?2)T??Tzj,j?1,2,?,m
由概率论的知识可知{?Z}也是标准正态分布中相互独
j立的抽样值，那么用?Z代替Z得到的S?也是股票价格终值的
jjjT?抽样，从而由Cj?j?K,j?1,2,?,m?exp(?rT)max0,ST??m的平均值也能
得到期权价格的无偏估计量。因此，由对偶变量技术得到的
?期权价格蒙特卡洛估计值为CAV??m1?Cj?Cj2。
j?1
对偶变量技术的有效性：由于Var[CVar[?Cj?Cj2]?12j?]，所以 ]?Var[Cj?])；并且，令C??(Z)(Var[Cj]?Cov[Cj,Cjjj，对于标
准欧式看涨期权，?(Z)是单调递增函数。由不等式
jE[?(Zj)?(?Zj)]?E[?(Zj)]E[?(?Zj)]Var[?Cj?Cj2]?12，可知Cov[Cj?]?0,Cj，从而
(Var[Cj])，对偶变量技术有效。
显然，标准欧式看跌期权和亚式期权对应的必也是单调函数，所以对偶变量技术对这两种期权也适用，而障碍期权 和回望期权则反之。
对偶变量技术置信区间的估计：由于C??C?C?Cm?CC1?Cm122,,?,不独立，而2221?,C,C?,?,C,C?,C122mm并
才是独立同分布的抽样，故
1采用n
??C?C?Cm?CC1?Cm122,,?,个222而非2n个C?,C,C?,?,C,C?,C122mm来
计算样本标准差。
以上对偶变量技术采用的输入变量Z服从标准正态分
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布，实际上使用更广泛的输入变量是随机数U。显然，1?U与
iiUi具有相同分布且两者负相关，从而只要输入变量与输出变
量存在单调关系，1?U对应的输出变量与U对应的输出变量
ii也存在负相关关系，对偶变量技术有效。
◆控制变量(Control variates)技术
一元控制变量：若Y,?,Y是期权到期回报贴现的n次独
1n立模拟值，那么期权价格的蒙特卡罗估计值是Yii?1n?Y。假
ii?1n设得到Y的同时能得到另一个输出变量X且E[X]己知，
(Xi,Yi),i?1,?,n独立同分布，则对于确定的数
b有
Yi(b)?Yi?b(Xi?E[X])
期权价格的控制变量估计值即为
Y(b)?Y?b(X?E[X])?1ni(Y?ni?1?b(Xi?E[X]))
所谓的“控制”是指X?E[X]。由下式可知控制变量估计值是无偏估计量E[Y(b)]?若令?X22E[Y?b(X?E[X])]?E[Y]?E[Y]。
?Var[X],?Y?Var[Y]，则有
Var[Yi(b)]?Var[Yi?b(Xi?E[X])]?Var[Yi?bXi]??2Y?b?2X?2b?X?Y?XY
对上式关于b求导数，解得能够使Var[Yi(b)]最小化的b值应为b*??Y?X?XY?Cov[X,Y]Var[X]。因此，Var[Yi(b*)]?(1??XY)Var[Yi]2。
由此可见，只要X与Y的相关性越强，那么控制变量估计的方差减少越显著，所以控制变量技术的关键是选择与Y关系密切且期望值已知的控制变量。另外，由于计算b的
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*两个量Cov[X,Y]和Var[X]未知，故实践中采用的是b*的估计值
n??b?i?1(Xni?X)(Yi?Y)?X)2。
?i?1(Xi
多元控制变量：控制变量技术也可以推广到多元情形，假设得到Y的同时能得到d维向量Xii?(Xi,?,Xi(1)(d))T并且E[X]已知，(Xi,Yi),i?1,?,n独立同分布，(X,Y)的协方差矩阵为
??X????XY??T????????XYY??XXY
X是d?d矩阵，??是d?1矩阵，且?是非奇异矩阵。则对
T于确定的向量b有Yi(b)?Yi?b(Xi?E[X])。多元控制变
量估计值为Y(b)?Y由于Var[Y?b(X?E[X])?TT1ni(Y?ni?1?b(Xi?E[X]))TTT。
(b)]?Var[Yi?b(Xi?E[X])]??Y?b?Xb?2b?XYi*2经过推导可知最优控制系数向量b差为Var[Yi(b
*??X?XYT?1，相应的最小化方
?12)]?(1?R)?Y22，其中R2??XY?X?XY?Y。
下面介绍在一种特殊情形下b*的推导过程： 若多元控制变量
Cov[X(i)X(1),X(2),?,X(d)之间彼此独立，即
d,X(j)]?0,i?j，则有
dVar[Yi(b)]?Var[Y]??bVar[Xi?1i(i)]?2?Cov[Y,biXi?1(i)]
由多元函数的极值理论，可解得使Var[Yi(b)]最小化的向量b的第i个分量应为b**?Cov[Xi,Y]Var[Xi]??X?XY,i?1,2,?,d?1将b代入
* 34
d可得Var[Yi(b
*)]?[1???(Y,Xi?12(i))]Var[Yi]?(1?R)?Y22。
关于偏差的讨论：由于b*未知，实践中采用的是其估计值b?，由b?与X的相关性，可知控制变量估计值Y(b?)将是有偏
i的，并且S
n??)?Y(b?))也将是有偏的。 (Y(b?n?12ii?11n解决如上问题的方法有两个：一是增加模拟的次数，当n增大时，偏差的响将会变小；另一个方法是将模拟分为两个部分，先用n1(n1?，再用n?n次??n)次模拟得到结果生成b1模拟的结果计算Y(b?)，这样得到的估计值将是无偏。不过，现实情形下，b*的偏差并不大，从而采用复杂的分步运算获取无偏估的作法并不吸引人。
控制变量的类型：期权定价中常采用的三种控制变量有标的资产价格、定价已解决的期权以及为模拟标的资产价格所需的正态随机变量。
（1）标的资产价格
在期权定价的蒙特卡罗模拟中，标的资产价格是来源最广的一类控制变量。在风险中性测度下，假设无风险利率为常数r，资产价格的贴现为鞅，即E[e?rtSt]?S0。而待定价的期
权价格是标的资产价格的函数，两者具有相关性，因此可以采用标的资产价格(或其贴现)作为控制变量。
若待定价的是标准欧式看涨期权，Ye?rt?rt??e(ST?K)，那么将
ST作为控制变量，相应的控制变量估计值为
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